14

1.2.5 Метод Ньютона

Пусть на отрезке [a; b] отделен корень уравнения (1), функция f(x) дважды дифференцируема, а f ′(x) и f ′′(x) сохраняют постоянные знаки на указанном интервале.

В методе Ньютона точное значение ξ корня уравнения (1) заменяется приближенным значением x [a; b], где x – абсцисса пересечения касательной, проведенной к кривой y = f(x) в точке С [a; b]. Уравнение этой касательной

	y – f(С) = f ′(С)(x – С).					(17)
	Так как при x = x y = 0, то из (17) получаем
				f ( C )
			= С –		.	(18)
	x
				f ' ( C )

Остается решить вопрос о выборе точки С таким образом, чтобы x [a; b]. Выбор точки С определяется четырьмя случаями, изображенными на рис. 6.

		y
			f(x)
			a		C=b
		0		ξ			x
			y
y		2) f ′(x)<0, f ′′(x)<0,					x
			C=b, f(C)<0
			f(x)
					f(x)
			a
0	a	ξ	0	b	С=b	x
			y		x
			1) f ′(x)>0, f ′′(x)>0, C=b, f(C)>0
		3) f ′(x)>0, f ′′(x)<0,
			x
		C=a, f(C)<0
					ξ	b	x x
			0	a
				4) f	Рис. 6
					′(x)<0, f ′′(x)>0,

C=a, f(C)>0

x

15

Обычно принимают C = a или C = b, смотря по тому, в какой из этих точек знак функции совпадает со знаком второй производной, т.е. выбирают так, чтобы произведение sgn f(C) × sgn f ¢¢ (C) было положительно. Можно показать, что в этом случае a < x < b. Полученное значение x можно использовать для дальнейшего уточнения корня, беря интервал [a x ] (случаи 1 – 2) или интервал [ x ; b] (случаи 2 – 4).

Геометрический смысл метода Ньютона состоит в замене дуги y = f(x) касательной, проведенной к одной из крайних точек так, что имеет место итерационная формула

xk = xk–1 –	f ( xk − 1 )	(k = 1, 2, …),
	f ' ( xk − 1 )

основанная на формуле (18).

Для оценки погрешности в методе Ньютона можно воспользоваться форму-

лой

	|xk – z| £	M	|xk – xk–1|2 ,
		2m
min	max
где m = x [α ;	β ] |f ¢(x)|, M = x [α ;β ] |f ¢¢(x)|.

1.2.5.1Алгоритм метода Ньютона

1.Установить значения a, b, e – границы отрезка отделения корня и принятую точность приближения.

2.	Определить точку (h, M = max | f '' ( x ) | ).
		x [ a ; b ]
3.	Вычислить m =	min
		x [ a ; b ] |f '(x)|.

4. Установить начальное приближение x0 Î [a; b]:

если sgn f ''(h) = sgn f(a), то	x0 = a,
иначе	x0 = b.

5.Начать цикл уточнения корня.

5.1.Вычислить очередное приближение x1 = x0 –

5.2.Вычислить d = (x1 – x0)2.

5.3.Принять x0 = x1.

6.Конец цикла, если d < 2Mm e .

7.Вывод результата x1.

8.Конец алгоритма.

f ( x0 ) . f ' ( x0 )