5

выбор которых учитывает особенности функции f(x). Если окажется, что

f(ak)×f(ak+1) < 0, то в силу теоремы 1 в интервале (ak; ak+1) имеется корень xk уравнения f(x) = 0. Этот корень единственный, если производная функции сохраняет

знак на интервале (ak; ak+1).

1.1.3 Графический метод отделения корней

Графический метод отделения корней состоит в том, что действительные корни уравнения f(x) = 0 приблизительно можно определить как абсциссы точек пересечения графика функции y = f(x) с осью Ох. Если уравнение (1) не имеет близких между собой корней, то этим способом его корни легко отделяются. На практике часто бывает выгодно уравнение (1) заменить равносильным ему уравнением j(x) = y(x), где функции j(x) и y(x) более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики функций y = j(x) и y = y(x), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.

Замечание. Графический метод отделения корней, выполненный на компьютере, не гарантирует успешный поиск всех корней на заданном интервале, так как из-за особенностей реализации график не будет соответствовать действительному графику функции f(x).

1.1.4 Метод интервалов отделения корней

Метод интервалов отделения корней состоит в том, чтобы найти интервал [a, b] таким образом, что f(a) и f(b) имеют различные знаки. Как только будет найден такой интервал, величина которого не имеет значения, то согласно теореме 1, там будет содержаться корень уравнения f(x) = 0. Но теорема 1 не гарантирует, что этот корень будет единственным. Корень будет заведомо один, если интервал [a, b] является интервалом знакопостоянства производной, поэтому рекомендуется следующая схема:

−найти производную f ¢(x) функции f(x);

−найти критические точки функции f(x);

−составить таблицу знаков функции на границах отрезка [a, b] и в критических точках;

−определить отрезки, на концах которых функция принимает значения противоположных знаков.

Указанная схема достаточна сложна в практической реализации. Обычно ин-

тервал делят на n частей точками a = x0 < x1 < …< xn = b и вычисляют значения функции yk = f(xk). Если f(x) непрерывна и две смежные точки (xk–1, yk–1), (xk, yk) лежат по различные стороны оси x, то согласно теореме 1, по крайней мере, один

корень лежит на интервале [xk–1, xk]. Но если существует корень, и две смежные точки лежат по одну сторону оси x, то теорема 1 не применима. Это возможно в ситуации близко расположенных корней либо сливающихся корней, т. е. корней, в которых график соприкасается с осью Ox, но не пересекает ее, или корней, слива-

ющихся с вертикальной асимптотой. Ситуация f(xk) » 0 характеризует xk как предварительное приближение корня. Однако график может быть близок к нулю на

6

широком диапазоне значений около точки xk, тогда xk возможно не близка к истинному корню. В связи с этим добавляется требование, чтобы тангенс наклона графика изменял знак вблизи точки (xk, yk). В этом случае xk является приближением к корню. Поэтому рекомендуется следующая схема локализации корня:

−разбить интервал [a, b] на n частей точками a = x0 < x1 < …< xn = b и вычислить значения функции yk = f(xk) k = 0, 1, …, n;

−если (yk–1)∙(yk) = 0, то точка xk–1 или точка xk является нулем функции f(x);

−если (yk–1)∙(yk) < 0, то корень локализован на интервале [xk–1; xk];

−	если (yk–1)∙(yk) > 0 и |yk| < e и	yk − yk− 1	< 0, то корень локализован на интерва-
		yk+ 1 - yk

ле [xk–1; xk+1].

Замечание. Если f(x) имеет локальный экстремум, чрезвычайно близкий к нулю, то xk в данной схеме будет рассматриваться как приближенное значение корня, когда f(xk) » 0, несмотря на то, что xk возможно и не является приближением к корню. Такие ситуации необходимо рассматривать, когда применяется любой численный алгоритм для нахождения корня.

1.2 Методы уточнения приближенных корней 1.2.1 Постановка задачи

Под уточнением приближенных корней понимают доведение их до заданной степени точности в следующей задаче.

Пусть дано уравнение (1), в котором f(x) – непрерывная функция и задан интервале [a b] изоляции корня, на концах которого функция f(x) имеет различные

знаки, т. е. sgn f(a)×sgn f(b) < 0, где	ì	0,если x =	0;
sgn x =	ï	1,если x >	0;
	í
	ï	- 1,если x < 0.
	î

Требуется найти с точностью e приближенное значение корня уравнения (1) на интервале [a; b] изоляции корня.

1.2.2 Оценка погрешности приближенного корня

Оценку погрешности приближенного корня дает следующая теорема.

Теорема 2. Пусть x – точный, а x - приближенный корни уравнения f(x) = 0, находящиеся на одном и том же отрезке [a; b], причем ½f ¢(x )| ³ m1 > 0 при

a£ x £ b. В таком случае справедлива оценка
½	x	– x½£			f ( x )			.	(2)
					m1