13

Рис. 5. Пример, что при xn − xn-1 < ε имеет место неравенство ξ − xn > ε .

4. Упрощенная оценка (16) может быть использована для случая ϕ '(x) < 0 и |ϕ '(x)| < 1. Если же ϕ '(x) > 0 и ϕ '(x) < 1, то, вообще говоря, оценку (16) использовать нельзя. Но учитывая, что в этом случае последовательные приближения

xn = ϕ(xn–1), n = 1, 2, …, x0 [a; b]

сходится к корню ξ монотонно, можно организовать сужение интервала [a; b], последовательно получая приближения корня с недостатком и избытком. Тогда возможно применение оценки приближения (16).

1.2.4.1 Алгоритм метода итераций

Вычислительная схема решений имеет вид

xi = x0, x0 [a; b]

xi+1 = ϕ(xi), i = 1, 2, …

и сводится к организации циклического процесса с неизвестным числом повторений до выполнения заданного уровня точности, который может быть оценен неравенством (12) или применением упрощенной оценки (16).

Выполним уточнение корня на отрезке [a; b], применив следующий алгоритм.

1. Установить значения a, b, ε – границы отрезка отделения корня и принятую точность приближения.

2. Определить точку (η, M = max| f ' ( x )|).

x [α ; β ]

3.Установить начальное значение x0 [a; b].

4.Вычислить λ = sgn f '(η) M2 .

5.Начать цикл уточнения корня.

Вычислить очередное приближение x1 = x0 – λf(x0). Вычислить d = |x1 – x0|.

Принять x0 = x1.

6.Конец цикла, если d < ε .

7.Вывод результата x1.

8.Конец алгоритма.

Замечание. Выполнение п.4 алгоритма обеспечивает удовлетворение требований ϕ '(x) < 0 и |ϕ '(x)| < 1, при которых может быть применена упрощенная оценка (16).