8. Методические указания к контрольной работе № 3

8.1. Комплексные числа

Выражение вида

(8.1)

где i– так называемая мнимая единица, называетсякомплексным числом.

Мнимая единица(символ) определяется равенствами

или(8.2)

В дальнейшем комплексные числа будут представляться в различных формах. Вид комплексного числа (8.1) называется его алгебраической формой, х называетсядействительной частью, y – мнимой частью комплексного числа.

Комплексное число

называется сопряженнымк числу (8.1).

Геометрически комплексное число изображается точкой плоскости с координатами х иy или соответствующим радиус-вектором (рис. 8.1).

Действия над комплексными числами вводятся так, чтобы оставались в силе обычные законы алгебры и равенства (8.2):

1. сложение

2. умножение на действительное число

3. умножение комплексных чисел

4. делениена комплексное число

Введём понятие модуля

и аргумента комплексного числа (рис. 8.1). Важно помнить, что

Очевидно, что

Подставляя эти выражения в (8.1), приходим к тригонометрической формекомплексного числа:

Пример.Написать в тригонометрической форме комплексное число.

Решение.Найдем модуль и аргумент этого комплексного числа

,.

Отсюда равно или/ 4 или – 3/ 4, но так как точка, изображающая комплексное число, попадает, как нетрудно видеть, в первую четверть, то=/ 4. Тогда

.

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются:

При делении картина аналогичная

Если , то

.

Если , то кореньn-ой степени из комплексного числаzимеетnразличных значений, которые находятся поформуле Муавра

. (8.5)

8.2. Введение в математический анализ

Функциейназывается правило (закон), по которому каждому элементух(аргументу) некоторого множестваХ(области определения) соответствует единственный элементу (зависимая переменная) другого множестваY(области значения функции).

Множество пар чисел называетсяграфикомфункцииy =f (x). Оно определяет некоторую кривую в декартовой системе координатОху.

Графики функций в прямоугольной системе координат обладают следующими свойствами:

1. график функции y = –f (x) симметричен графику функцииy =f (x) относительно осиОх;

2. график функции y =f (–x) симметричен графику функцииy =f (x) относительно осиОу;

3. график функции y =f (x – a) представляет собой сдвинутый вдоль осиОх на величину а график y =f (x);

4. график функции y =f (x)+ bпредставляет собой сдвинутый вдоль осиОy на величину b график y =f (x);

5. график функции y =kf (x) есть растяжение (k > 1) графикa y =f (x) вk раз (или сжатие приk < 1 в 1 /kраз) вдоль осиОу;

6. график функции y =f (аx) представляет собой растяжение приа < 1 графика функцииy =f (x) в 1 /араз (или сжатие приа > 1 вараз) вдоль осиОх.

Число y₀называетсяпределом функции y = f (x)в точке (приxx₀), если для любого> 0 можно указать такое число, что при всех, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство.

Аналогично введенным определениям дается и определение предела функции при xи бесконечного предела функции в точке.

Наряду с введенным понятием предела функции в точке часто используют понятие одностороннего предела.

Число y₀называютпределом функции y = f (x)в точке x₀справа (слева), если для любого> 0 существует такое число, что при всех, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство.

При вычислении пределов используют следующие символические равенства и формулы:

,,

,,

(первый замечательный предел),

(второй замечательный предел).

Функция y =f(x) называетсянепрерывной в точке х₀, если она определена в некоторой ее окрестности и имеет в этой точке конечный предел, причем

.

Здесь не указано, с какой стороны х  x₀. Понимают это равенство так

, (8.6)

Здесь через обозначены соответственноправыйилевыйпределы функцииy = f (x) в точке x₀.

Если хотя бы одно из равенств в (8.6) не имеет места, функция называетсяразрывной, а разность

называется скачкомфункции в точкеx₀(см. рис. 8.2).

Справедливо утверждение: основные элементарные функции непрерывны во всех точках области определения.

При решении нелинейных уравнений

(8.7)

часто используют приближенные методы. Рассмотрим метод половинного деления (метод бисекций) численного решения (8.7).

Теорема 8.1. Если функция непрерывна на отрезке, принимает значения разных знаков на концах отрезкаи первая производнаясохраняет знак на интервале, то внутри отрезкасуществует единственный корень уравнения ,(рис. 8.3).

Таким образом, при нахождении корней вначале необходимо разбить область определения функции на отрезки, внутри которых находится один корень уравнения (8.7).

Отрезок, содержащий корень, можно найти графически. Для этого уравнение переписывается в виде

,

где иболее простые функции, чем. Построив графики функцийи, находим отрезок, содержащий значение (абсциссу точки пересечения этих графиков), если корень существует.

Рассмотрим один из таких отрезков , на концах которого функцияимеет разные знаки (рис. 8.4). Значение корнянаходится внутри отрезка. Разделим отрезокпополам и вычислим значения функциив точке= (а + b) / 2.

Если , тоявляется корнем уравнения (8.7). Если, то выбираем ту из половинили, на концах которых функцияимеет противоположные знаки. В рассматриваемом случае (см. рис. 8.4) это будет отрезок, который принимаем за новый отрезок. Обозначим этот отрезок через. Если, где – заданная точность, то любая точка из интервала (а₁, b₁) может быть принята за приближенное значение корня. Если же , то, положива = а₁,b=b₁, продолжаем процесс деления отрезка пополам. В результате на каком-то конечном шаге получается либо точное значение корня, либо через конечное число шагов длина станет меньше. В последнем случае за приближенное значение корня можно принять любую точку отрезка (как правило, берут его середину).