- •Самарская государственная академия путей сообщения
- •Рабочая программа
- •1. Линейная алгебра
- •2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- •3. Комплексные числа
- •4. Введение в математический анализ
- •Рекомендуемая литература
- •Порядок выполнения и защиты контрольных работ по высшей математике
- •1. Задания для контрольной работы №1 Задание № 1
- •Задание № 2
- •Задание № 3
- •Задание № 4
- •Задание № 5
- •2. Методические указания к контрольной работе № 1
- •2.1. Линейная алгебра
- •Алгоритм построения обратной матрицы:
- •3. Решение типового варианта контрольной работы № 1
- •4. Задания для контрольной работы №2 Задание № 1
- •Задание № 2
- •Задание № 3
- •Задание № 4
- •Задание № 5
- •5. Методические указания к контрольной работе № 2
- •5.1. Аналитическая геометрия
- •5.2. Кривые второго порядка
- •6. Решение типового варианта контрольной работы № 2
- •7. Задания для контрольной работы №3 Задание № 1
- •Задание № 2
- •Задание № 3
- •Задание № 4
- •Задание № 5
- •Задание № 6
- •8. Методические указания к контрольной работе № 3
- •8.1. Комплексные числа
- •8.2. Введение в математический анализ
- •9. Решение типового варианта контрольной работы № 3
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Гуменникова Юлия Валерьевна
9. Решение типового варианта контрольной работы № 3
Задание 1.Даны комплексные числаz1 иz2. Записать их в тригонометрической форме. Найти числаz1z2,z1 /z2,. Все результаты записать в тригонометрической и алгебраической формах. Отметить полученные числа на комплексной плоскости.
Решение.а). Преобразуем числок виду (8.1), для этого умножим и разделим его на число, сопряженное к знаменателю
.
Запишем числа ив тригонометрической форме. Воспользуемся формулами,
,Точкапопадает во вторую четверть, поэтому1 =arctg(–4 / 3) = 12652
= 5.
,Точкапопадает в четвертую четверть, поэтому2 =arctg(–2 / 5) = –2148и
= 5,39.
б). Вычислимz1z2иz1 /z2. В алгебраической форме
;
;
в тригонометрической форме
= 55,39=
= 26,93,
= ;
в)=+=,
,Точкапопадает в первую четверть, поэтому3 =arctg(1) = 45
= 2,83.
Отметим полученные числа на комплексной плоскости (рис. 9.1, 9.2).
Для нахождения корней третьей степени воспользуемся формулой (8.5):
,
;
;
.
Полученные числа отметим на комплексной плоскости (рис. 9.3).
Задание 2Методом деформации и сдвигов построить графики функцийа)у= 2sin(2x+/ 3);б)у= 2х – 1+ 4.
Решение. а). Преобразуем данную функцию к видуу= 2sin2(x+/ 6). График функцииу= 2sin2(x+/ 6) строим следующим образом:
Строим график у=sinх.
Сжимаем полученный график в 2 раза вдоль оси Охи получаем графику=sin2х.
Сдвигаем график у=sin2х влево на/ 6 и получаем графику=sin2(x+/ 6).
Растягиваем график у=sin(2x+/ 3) в 2 раза вдоль осиОуи получаем требуемый график (рис. 9.4).
Р и с. 9.4
б). График функцииу= 2х – 1+ 4 строим следующим образом:
1. Строим график у= 2х.
2. Сдвигаем график у= 2х вправо на 1 единицу и получаем графику= 2х – 1.
3. Сдвигаем график у= 2х – 1вверх на 4 единицы и получаем график функцииу= 2х – 1+ 4 (рис. 9.5).
Р и с. 9.5
Задание 3. Линия задана параметрическими уравнениями(четырехлепестковая роза). Записать уравнение этой линии в декартовой системе координат и построить ее по точкам, даваяtзначения отt = 0 доt = 2cшагомh =/ 10.
Решение. Для построения кривой заполним табл. 7.
Таблица 7
t (рад.) |
x |
y |
t (рад.) |
x |
y |
0 |
2 |
0 |
p |
–2 |
0 |
/ 10 |
1,539 |
–0,5 |
11p / 10 |
–1,539 |
0,5 |
/ 5 |
0,5 |
–0,363 |
6p / 5 |
–0,5 |
0,363 |
3 / 10 |
–0,363 |
0,5 |
13p / 10 |
0,363 |
–0,5 |
2 / 5 |
–0,5 |
1,539 |
7p / 5 |
0,5 |
–1,539 |
p / 2 |
0 |
2 |
15p / 10 |
0 |
–2 |
3p / 5 |
0,5 |
1,539 |
8p / 5 |
–0,5 |
–1,539 |
7p / 10 |
0,363 |
0,5 |
17p / 10 |
–0,363 |
–0,5 |
4p / 5 |
–0,5 |
–0,363 |
9p / 5 |
0,5 |
0,363 |
9p / 10 |
–1,539 |
–0,5 |
19p / 10 |
1,539 |
0,5 |
|
|
|
2 |
2 |
0 |
Используя данные таблицы, построим кривую (рис. 9.6).
Задание 4.Вычислить пределы
а)прих0 = 2;х0 = 1;х0 .
б);в);г).
Решение.При вычислении пределов допустимы использование уже известных пределов и элементарные преобразования. В некоторых случаях бывает целесообразным использовать для приближенных вычислений при малых значенияхх (всюду) таблицу эквивалентных бесконечно малых:
1) х, |
2) tg x х, |
3) х, |
4) х, |
5) , |
6) х, |
7) х, |
8) х ln a, |
9) aх. |
а) 1.
а) 2. .
Неопределенности вида раскрываются путем сокращения на множитель, дающий 0. Разложим числитель и знаменатель на множители по формуле. Для этого решим уравненияи. Корни первого уравнения (1, –2 / 3), второго (1, –3 / 2), тогда
,
.
Подставим полученные разложения под знак предела и получим
.
а) 3. .
Такие неопределенности раскрываются путем вынесения старшей степени неизвестной
.
б) .
Для того, чтобы избавиться от иррациональностей, умножим и числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю:
.
в) .
Для раскрытия неопределенностей такого вида воспользуемся первым замечательным пределом и равенством.
Тогда
.
г) .
Для раскрытия неопределенностей вида воспользуемся вторым замечательным пределом
Тогда
.
Задание 5.Найти точки разрыва функции и построить график функции
Решение. В интервалах (–; 0), (0, 2) и (2,) функция непрерывна. Исследуем функцию на непрерывность в точкахх1= 0 их2 = 2. Воспользуемся условием непрерывности функции в точкех0(8.6)
исследуем точку х1 = 0:
точка х1 = 0 – точка разрыва функции соcкачкомs(0) = –1;
исследуем точку х2 = 2:
,
следовательно, в точке х2 = 2 функция непрерывна. Построим график (см. рис. 9.7).
Задание 6.Дано уравнение .Требуется: 1) Графическим методом отделить корень этого уравнения. 2) Найти этот корень методом половинного деления с точностью = 0,1.
Решение. Для нашего примера примем
;.
Графики этих функций изображены на рис. 9.8.
Как видно, . Рассмотрим отрезок[0, 1]. Имеем
;;.
Таким образом, на отрезке [0, 1] функцияf(x) удовлетворяет условиям теоремы 8.1 и на этом отрезке имеет единственный корень. Рассмотрим интервалыи:
,
т.е. на этих интервалах функция f(x) не меняет знак, следовательно, корней на них нет.
Найдем корень на отрезке [0, 1]. Итерационная процедура метода половинного деления будет иметь вид
1) ,< 0;
2) ,0,753 + 0,75 – 1 = 0,172 > 0;
3) , = f (0,625) = 0,6253 + 0,625 – 1 =
= –0,131 < 0;
4) , =f (0,688) =0,6883 + 0,688 – 1 = = 0,014 > 0;
5) [0,625; 0,688].
Так как длина последнего отрезка = 0,063 < = 0,1, то процесс закончен и приближенное значение корня . Возьмем в качестве корня середину отрезка, т.е.0,66.
Для проверки результатов расчетов вычислим f(0,66): , т.е. корень найден верно.