- •Учебно-методический комплекс Учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» Цикла ен по специальности
- •080107 «Налоги и налогообложение»
- •Рабочая учебная программа утверждаю:
- •Основание
- •Раздел 1. Элементы теории вероятностей
- •Раздел 2. Математическая статистика
- •2. Краткое изложение материала (сокращенный курс лекций)
- •Тема 1.Элементы комбинаторики
- •1.1. Размещения
- •1.2. Понятие факториала
- •1.3. Размещения с повторениями
- •1.4. Сочетания
- •Сочетания с повторениями
- •1.6. Перестановки
- •1.7. Перестановки с повторениями
- •1.8. Правила комбинаторики
- •Тема 2.Элементы теории вероятностей
- •2.1. Определение вероятности и свойства, вытекающие из её определения. Классификация событий. Диаграммы Венна
- •Полную группу можно определить так: если
- •2.2. Правила сложения и умножения вероятностей. Зависимые и независимые события
- •Тема 3. Формулы полной вероятности и байеса
- •Необходимо определить вероятность события а и переоценить вероятности событий Hi с учетом полной информации о событии а.
- •Тема 4. Дискретные случайные величины.
- •4.1. Определение дискретной случайной величины.
- •4.2.Числовые характеристики.
- •4.3. Математические операции над случайными величинами.
- •4.4. Распределения Бернулли и Пуассона.
- •4.5. Гипергеометрическое распределение.
- •5. Непрерывные случайные величины.
- •5.1. Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины.
- •5.2. Нормальное распределение
- •6. Вариационные ряды и их характеристики
- •6.1.Понятие вариационного ряда. Виды вариационных рядов.
- •6.2. Числовые характеристики вариационного ряда
- •7. Выборочный метод и статистическое оценивание
- •7.1. Основные понятия и определения выборочного метода
- •7.2. Статистическое оценивание
- •7.3. Ошибки выборки
- •Формулы расчёта ошибки выборки для собственно-случайного отбора
- •7.4. Определение численности (объема) выборки
- •Формулы расчёта необходимой численности выборки для собственно-случайного отбора
- •7.5. Интервальное оценивание
- •Тема 8. Проверка статистических гипотез
- •Статистическая проверка гипотез
- •3. Методические указания к выполнению курсовой работы, а также методические указания в целом
- •Задачи к теме 1 «Комбинаторика».
- •Задачи к теме 2 «Основные теоремы теории вероятностей».
- •Задачи к теме 3 «Формулы полной вероятности и Байеса».
- •Задачи к теме 4 «Законы распределения дискретных случайных величин».
- •Задачи к теме 5 «Законы распределения непрерывных случайных величин».
- •Задачи к теме 6 «Вариационные ряды и их характеристики».
- •Задачи к теме 7 «Выборочный метод и статистическое оценивание».
- •Задачи к теме 8 «Статистическая проверка гипотезы».
- •5. Контроль знаний (тесты, билеты, вопросы для экзамена, зачета) тесты
- •Тема 1. Комбинаторика
- •Тема 2. Основные определения, понятия и теоремы теории вероятностей
- •Тема 3. Формулы полной вероятности и Байеса
- •Тема 4. Случайные величины
- •Тема 5 . Закон больших чисел
- •Тема 6. Вариационный ряд и его числовые характеристики
- •Тема 7. Выборочный метод и его значение в экономических исследованиях
- •Тема 8. Статистическая проверка гипотез
- •Экзаменационные билеты
- •Вопросы к экзамену (зачету)
- •Раздел 1. Элементы теории вероятностей
- •Раздел 2. Математическая статистика
- •6. Сведения о ппс
- •7. Деловые игры и хозяйственные ситуации, используемые при проведении практических занятий
- •Дополнительный материал Глоссарий
- •Статистические таблицы
Статистические таблицы
К необходимому дополнительному материалу при изучении дисциплины следует отнести статистические таблицы, решение ряда задач без которых не представляется возможным.
Таблица функции
(кривая вероятностей)
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0,0 |
0,3989 |
0,3989 |
0,3989 |
0,3988 |
0,3986 |
0,3984 |
0,3982 |
0,3980 |
0,3977 |
0,3973 |
0,1 |
0,3970 |
0,3965 |
0,3961 |
0,3956 |
0,3951 |
0,3945 |
0,3939 |
0,3932 |
0,3925 |
0,3918 |
0,2 |
0,3910 |
0,3902 |
0,3894 |
0,3885 |
0,3876 |
0,3867 |
0,3857 |
0,3847 |
0,3836 |
0,3825 |
0,3 |
0,3814 |
0,3802 |
0,3790 |
0,3778 |
0,3765 |
0,3752 |
0,3739 |
0,3725 |
0,3712 |
0,3697 |
0,4 |
0,3683 |
0,3668 |
0,3653 |
0,3637 |
0,3621 |
0,3605 |
0,3589 |
0,3572 |
0,3555 |
0,3538 |
0,5 |
0,3521 |
0,3503 |
0,3485 |
0,3467 |
0,3448 |
0,3429 |
0,3410 |
0,3391 |
0,3372 |
0,3352 |
0,6 |
0,3332 |
0,3312 |
0,3292 |
0,3271 |
0,3251 |
0,3230 |
0,3209 |
0,3187 |
0,3166 |
0,3144 |
0,7 |
0,3123 |
0,3101 |
0,3079 |
0,3056 |
0,3034 |
0,3011 |
0,2989 |
0,2966 |
0,2943 |
0,2920 |
0,8 |
0,2897 |
0,2874 |
0,2850 |
0,2827 |
0,2803 |
0,2780 |
0,2756 |
0,2732 |
0,2709 |
0,2685 |
0,9 |
0,2661 |
0,2637 |
0,2613 |
0,2589 |
0,2565 |
0,2541 |
0,2516 |
0,2492 |
0,2468 |
0,2444 |
1,0 |
0,2420 |
0,2396 |
0,2371 |
0,2347 |
0,2323 |
0,2299 |
0,2275 |
0,2251 |
0,2227 |
0,2203 |
1,1 |
0,2179 |
0,2155 |
0,2131 |
0,2107 |
0,2083 |
0,2059 |
0,2036 |
0,2012 |
0,1989 |
0,1965 |
1,2 |
0,1942 |
0,1919 |
0,1895 |
0,1872 |
0,1849 |
0,1826 |
0,1804 |
0,1781 |
0,1758 |
0,1736 |
1,3 |
0,1714 |
0,1691 |
0,1669 |
0,1647 |
0,1626 |
0,1604 |
0,1582 |
0,1561 |
0,1539 |
0,1518 |
1,4 |
0,1497 |
0,1476 |
0,1456 |
0,1435 |
0,1415 |
0,1394 |
0,1374 |
0,1354 |
0,1334 |
0,1315 |
1,5 |
0,1295 |
0,1276 |
0,1257 |
0,1238 |
0,1219 |
0,1200 |
0,1182 |
0,1163 |
0,1145 |
0,1127 |
1,6 |
0,1109 |
0,1092 |
0,1074 |
0,1057 |
0,1040 |
0,1023 |
0,1006 |
0,0989 |
0,0973 |
0,0957 |
1,7 |
0,0940 |
0,0925 |
0,0909 |
0,0893 |
0,0878 |
0,0863 |
0,0848 |
0,0833 |
0,0818 |
0,0804 |
1,8 |
0,0790 |
0,0775 |
0,0761 |
0,0748 |
0,0734 |
0,0721 |
0,0707 |
0,0694 |
0,0681 |
0,0669 |
1,9 |
0,0656 |
0,0644 |
0,0632 |
0,0620 |
0,0608 |
0,0596 |
0,0584 |
0,0573 |
0,0562 |
0,0551 |
2,0 |
0,0540 |
0,0529 |
0,0519 |
0,0508 |
0,0498 |
0,0488 |
0,0478 |
0,0468 |
0,0459 |
0,0449 |
2,1 |
0,0440 |
0,0431 |
0,0422 |
0,0413 |
0,0404 |
0,0396 |
0,0387 |
0,0379 |
0,0371 |
0,0363 |
2,2 |
0,0355 |
0,0347 |
0,0339 |
0,0332 |
0,0325 |
0,0317 |
0,0310 |
0,0303 |
0,0297 |
0,0290 |
2,3 |
0,0283 |
0,0277 |
0,0270 |
0,0264 |
0,0258 |
0,0252 |
0,0246 |
0,0241 |
0,0235 |
0,0229 |
2,4 |
0,0224 |
0,0219 |
0,0213 |
0,0208 |
0,0203 |
0,0198 |
0,0194 |
0,0189 |
0,0184 |
0,0180 |
2,5 |
0,0175 |
0,0171 |
0,0167 |
0,0163 |
0,0158 |
0,0154 |
0,0151 |
0,0147 |
0,0143 |
0,0139 |
2,6 |
0,0136 |
0,0132 |
0,0129 |
0,0126 |
0,0122 |
0,0119 |
0,0116 |
0,0113 |
0,0110 |
0,0107 |
2,7 |
0,0104 |
0,0101 |
0,0099 |
0,0096 |
0,0093 |
0,0091 |
0,0088 |
0,0086 |
0,0084 |
0,0081 |
2,8 |
0,0079 |
0,0077 |
0,0075 |
0,0073 |
0,0071 |
0,0069 |
0,0067 |
0,0065 |
0,0063 |
0,0061 |
2,9 |
0,0060 |
0,0058 |
0,0056 |
0,0055 |
0,0053 |
0,0051 |
0,0050 |
0,0048 |
0,0047 |
0,0046 |
3,0 |
0,0044 |
0,0043 |
0,0042 |
0,0040 |
0,0039 |
0,0038 |
0,0037 |
0,0036 |
0,0035 |
0,0034 |
3,1 |
0,0033 |
0,0032 |
0,0031 |
0,0030 |
0,0029 |
0,0028 |
0,0027 |
0,0026 |
0,0025 |
0,0025 |
3,2 |
0,0024 |
0,0023 |
0,0022 |
0,0022 |
0,0021 |
0,0020 |
0,0020 |
0,0019 |
0,0018 |
0,0018 |
3,3 |
0,0017 |
0,0017 |
0,0016 |
0,0016 |
0,0015 |
0,0015 |
0,0014 |
0,0014 |
0,0013 |
0,0013 |
3,4 |
0,0012 |
0,0012 |
0,0012 |
0,0011 |
0,0011 |
0,0010 |
0,0010 |
0,0010 |
0,0009 |
0,0009 |
3,5 |
0,0009 |
0,0008 |
0,0008 |
0,0008 |
0,0008 |
0,0007 |
0,0007 |
0,0007 |
0,0007 |
0,0006 |
3,6 |
0,0006 |
0,0006 |
0,0006 |
0,0005 |
0,0005 |
0,0005 |
0,0005 |
0,0005 |
0,0005 |
0,0004 |
3,7 |
0,0004 |
0,0004 |
0,0004 |
0,0004 |
0,0004 |
0,0004 |
0,0003 |
0,0003 |
0,0003 |
0,0003 |
3,8 |
0,0003 |
0,0003 |
0,0003 |
0,0003 |
0,0003 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
3,9 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0001 |
0,0001 |
4,0 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
4,1 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
4,2 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
Таблица функции (функция Лапласа)
-
z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
0,00000
0,00399
0,00798
0,01197
0,01595
0,01994
0,02392
0,02790
0,03188
0,03586
0,1
0,03983
0,04380
0,04776
0,05172
0,05567
0,05962
0,06356
0,06749
0,07142
0,07535
0,2
0,07926
0,08317
0,08706
0,09095
0,09483
0,09871
0,10257
0,10642
0,11026
0,11409
0,3
0,11791
0,12172
0,12552
0,12930
0,13307
0,13683
0,14058
0,14431
0,14803
0,15173
0,4
0,15542
0,15910
0,16276
0,16640
0,17003
0,17364
0,17724
0,18082
0,18439
0,18793
0,5
0,19146
0,19497
0,19847
0,20194
0,20540
0,20884
0,21226
0,21566
0,21904
0,22240
0,6
0,22575
0,22907
0,23237
0,23565
0,23891
0,24215
0,24537
0,24857
0,25175
0,25490
0,7
0,25804
0,26115
0,26424
0,26730
0,27035
0,27337
0,27637
0,27935
0,28230
0,28524
0,8
0,28814
0,29103
0,29389
0,29673
0,29955
0,30234
0,30511
0,30785
0,31057
0,31327
0,9
0,31594
0,31859
0,32121
0,32381
0,32639
0,32894
0,33147
0,33398
0,33646
0,33891
1,0
0,34134
0,34375
0,34614
0,34849
0,35083
0,35314
0,35543
0,35769
0,35993
0,36214
1,1
0,36433
0,36650
0,36864
0,37076
0,37286
0,37493
0,37698
0,37900
0,38100
0,38298
1,2
0,38493
0,38686
0,38877
0,39065
0,39251
0,39435
0,39617
0,39796
0,39973
0,40147
1,3
0,40320
0,40490
0,40658
0,40824
0,40988
0,41149
0,41308
0,41466
0,41621
0,41774
1,4
0,41924
0,42073
0,42220
0,42364
0,42507
0,42647
0,42785
0,42922
0,43056
0,43189
1,5
0,43319
0,43448
0,43574
0,43699
0,43822
0,43943
0,44062
0,44179
0,44295
0,44408
1,6
0,44520
0,44630
0,44738
0,44845
0,44950
0,45053
0,45154
0,45254
0,45352
0,45449
1,7
0,45543
0,45637
0,45728
0,45818
0,45907
0,45994
0,46080
0,46164
0,46246
0,46327
1,8
0,46407
0,46485
0,46562
0,46638
0,46712
0,46784
0,46856
0,46926
0,46995
0,47062
1,9
0,47128
0,47193
0,47257
0,47320
0,47381
0,47441
0,47500
0,47558
0,47615
0,47670
2,0
0,47725
0,47778
0,47831
0,47882
0,47932
0,47982
0,48030
0,48077
0,48124
0,48169
2,1
0,48214
0,48257
0,48300
0,48341
0,48382
0,48422
0,48461
0,48500
0,48537
0,48574
2,2
0,48610
0,48645
0,48679
0,48713
0,48745
0,48778
0,48809
0,48840
0,48870
0,48899
2,3
0,48928
0,48956
0,48983
0,49010
0,49036
0,49061
0,49086
0,49111
0,49134
0,49158
2,4
0,49180
0,49202
0,49224
0,49245
0,49266
0,49286
0,49305
0,49324
0,49343
0,49361
2,5
0,49379
0,49396
0,49413
0,49430
0,49446
0,49461
0,49477
0,49492
0,49506
0,49520
2,6
0,49534
0,49547
0,49560
0,49573
0,49585
0,49598
0,49609
0,49621
0,49632
0,49643
2,7
0,49653
0,49664
0,49674
0,49683
0,49693
0,49702
0,49711
0,49720
0,49728
0,49736
2,8
0,49744
0,49752
0,49760
0,49767
0,49774
0,49781
0,49788
0,49795
0,49801
0,49807
2,9
0,49813
0,49819
0,49825
0,49831
0,49836
0,49841
0,49846
0,49851
0,49856
0,49861
3,0
0,49865
0,49869
0,49874
0,49878
0,49882
0,49886
0,49889
0,49893
0,49896
0,49900
3,1
0,49903
0,49906
0,49910
0,49913
0,49916
0,49918
0,49921
0,49924
0,49926
0,49929
3,2
0,49931
0,49934
0,49936
0,49938
0,49940
0,49942
0,49944
0,49946
0,49948
0,49950
3,3
0,49952
0,49953
0,49955
0,49957
0,49958
0,49960
0,49961
0,49962
0,49964
0,49965
3,4
0,49966
0,49968
0,49969
0,49970
0,49971
0,49972
0,49973
0,49974
0,49975
0,49976
3,5
0,49977
0,49978
0,49978
0,49979
0,49980
0,49981
0,49981
0,49982
0,49983
0,49983
3,6
0,49984
0,49985
0,49985
0,49986
0,49986
0,49987
0,49987
0,49988
0,49988
0,49989
3,7
0,49989
0,49990
0,49990
0,49990
0,49991
0,49991
0,49992
0,49992
0,49992
0,49992
3,8
0,49993
0,49993
0,49993
0,49994
0,49994
0,49994
0,49994
0,49995
0,49995
0,49995
3,9
0,49995
0,49995
0,49996
0,49996
0,49996
0,49996
0,49996
0,49996
0,49997
0,49997
4,0
0,499968
4,5
0,499997
5,0
0,4999997
Таблица значений функции Пуассона:.
-
m
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0
0,9048
0,8187
0,7408
0,6703
0,6065
0,5488
0,4966
0,4493
0,4066
1
0,0905
0,1638
0,2222
0,2681
0,3033
0,3293
0,3476
0,3596
0,3659
2
0,0045
0,0164
0,0333
0,0536
0,0758
0,0988
0,1217
0,1438
0,1647
3
0,0002
0,0011
0,0033
0,0072
0,0126
0,0198
0,0284
0,0383
0,0494
4
-
0,0001
0,0003
0,0007
0,0016
0,0030
0,0050
0,0077
0,0111
5
-
-
-
0,0001
0,0002
0,0004
0,0007
0,0012
0,0020
6
-
-
-
-
-
-
0,0001
0,0002
0,0003
-
m
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
0
0,3679
0,1353
0,0498
0,0183
0,0067
0,0025
0,0009
0,0003
0,0001
1
0,3679
0,2707
0,1494
0,0733
0,0337
0,0149
0,0064
0,0027
0,0011
2
0,1839
0,2707
0,2240
0,1465
0,0842
0,0446
0,0223
0,0107
0,0050
3
0,0613
0,1805
0,2240
0,1954
0,1404
0,0892
0,0521
0,0286
0,0150
4
0,0153
0,0902
0,1680
0,1954
0,1755
0,1339
0,0912
0,0572
0,0337
5
0,0031
0,0361
0,1008
0,1563
0,1755
0,1606
0,1277
0,0916
0,0607
6
0,0005
0,0120
0,0504
0,1042
0,1462
0,1606
0,1490
0,1221
0,0911
7
0,0001
0,0034
0,0216
0,0595
0,1045
0,1377
0,1490
0,1396
0,1171
8
-
0,0009
0,0081
0,0298
0,0655
0,1033
0,1304
0,1396
0,1318
9
-
0,0002
0,0027
0,0132
0,0363
0,0689
0,1014
0,1241
0,1318
10
-
-
0,0008
0,0053
0,0181
0,0413
0,0710
0,0993
0,1186
11
-
-
0,0002
0,0019
0,0082
0,0225
0,0452
0,0722
0,0970
12
-
-
0,0001
0,0006
0,0034
0,0113
0,0264
0,0481
0,0728
13
-
-
-
0,0002
0,0013
0,0052
0,0142
0,0296
0,0504
14
-
-
-
0,0001
0,0005
0,0022
0,0071
0,0169
0,0324
15
-
-
-
-
0,0002
0,0009
0,0033
0,0090
0,0194
16
-
-
-
-
-
0,0003
0,0015
0,0045
0,0109
17
-
-
-
-
-
0,0001
0,0006
0,0021
0,0058
18
-
-
-
-
-
-
0,0002
0,0009
0,0029
19
-
-
-
-
-
-
0,0001
0,0004
0,0014
20
-
-
-
-
-
-
-
0,0002
0,0006
21
-
-
-
-
-
-
-
0,0001
0,0003
22
-
-
-
-
-
-
-
-
0,0001
Критические точки распределения 2
-
Число степеней
Уровень значимости
свободы k
0,01
0,025
0,05
0,95
0,975
0,99
1
6,6
5,0
3,8
0,0039
0,00098
0,00016
2
9,2
7,4
6,0
0,103
0,051
0,020
3
11,3
9,4
7,8
0,352
0,216
0,115
4
13,3
11,1
9,5
0,711
0,484
0,297
5
15,1
12,8
11,1
1,15
0,831
0,554
6
16,8
14,4
12,6
1,64
1,24
0,872
7
18,5
16,0
14,1
2,17
1,69
1,24
8
20,1
17,5
15,5
2,73
2,18
1,65
9
21,7
19,0
16,9
3,33
2,70
2,09
10
23,2
20,5
18,3
3,94
3,25
2,56
11
24,7
21,9
19,7
4,57
3,82
3,05
12
26,2
23,3
21,0
5,23
4,40
3,57
13
27,7
24,7
22,4
5,89
5,01
4,11
14
29,1
26,1
23,7
6,57
5,63
4,66
15
30,6
27,5
25,0
7,26
6,26
5,23
16
32,0
28,8
26,3
7,96
6,91
5,81
17
33,4
30,2
27,6
8,67
7,56
6,41
18
34,8
31,5
28,9
9,39
8,23
7,01
19
36,2
32,9
30,1
10,1
8,91
7,63
20
37,6
34,2
31,4
10,9
9,59
8,26
21
38,9
35,5
32,7
11,6
10,3
8,90
22
40,3
36,8
33,9
12,3
11,0
9,54
23
41,6
38,1
35,2
13,1
11,7
10,2
24
43,0
39,4
36,4
13,8
12,4
10,9
25
44,3
40,6
37,7
14,6
13,1
11,5
26
45,6
41,9
38,9
15,4
13,8
12,2
27
47,0
43,2
40,1
16,2
14,6
12,9
28
48,3
44,5
41,3
16,9
15,3
13,6
29
49,6
45,7
42,6
17,7
16,0
14,3
30
50,9
47,0
43,8
18,5
16,8
15,0
Критические точки распределения Стьюдента
-
Число степеней
Уровень значимости (двусторонняя критическая область)
свободы k
0,10
0,05
0,02
0,01
0,002
0,001
1
6,31
12,7
31,82
63,7
318,3
637,0
2
2,92
4,30
6,97
9,92
22,33
31,6
3
2,35
3,18
4,54
5,84
10,22
12,9
4
2,13
2,78
3,75
4,00
7,17
8,61
5
2,01
2,57
3,37
4,03
5,89
6,86
6
1,94
2,45
3,14
3,71
5,21
5,96
7
1,89
2,36
3,00
3,50
4,79
5,40
8
1,86
2,31
2,90
3,36
4,50
5,04
9
1,83
2,26
2,82
3,25
4,30
4,70
10
1,81
2,23
2,76
3,17
4,14
4,59
11
1,80
2,28
2,72
3,11
4,03
4,44
12
1,78
2,18
2,68
3,05
3,93
4,32
13
1,77
2,16
2,65
3,01
3,85
4,22
14
1,76
2,14
2,62
2,98
3,79
4,14
15
1,75
2,13
2,60
2,95
3,73
4,07
16
1,75
2,12
2,58
2,92
3,69
4,01
17
1,74
2,11
2,57
2,90
3,65
3,96
18
1,73
2,10
2,55
2,88
3,61
3,92
19
1,73
2,09
2,54
2,86
3,58
3,88
20
1,73
2,09
2,53
2,85
3,55
3,85
21
1,72
2,08
2,52
2,83
3,53
3,82
22
1,72
2,07
2,51
2,82
3,51
3,79
23
1,71
2,07
2,50
2,81
3,49
3,77
24
1,71
2,06
2,49
2,80
3,47
3,74
25
1,71
2,06
2,49
2,79
3,45
3,72
26
1,71
2,06
2,48
2,78
3,44
3,71
27
1,71
2,05
2,47
2,77
3,42
3,69
28
1,70
2,05
2,46
2,76
3,40
3,66
29
1,70
2,05
2,46
2,76
3,40
3,66
30
1,70
2,04
2,46
2,75
3,39
3,65
40
1,68
2,02
2,42
2,70
3,31
3,55
60
1,07
2,00
2,39
2,66
3,23
3,46
120
1,66
1,98
2,36
2,62
3,17
3,37
Число степеней
0,05
0,025
0,01
0,005
0,001
0,0005
свободы k
Уровень значимости (односторонняя критическая область)
Критические точки распределения Фишера-Снедекора(К1 - число степеней свободы большей дисперсии, К2 - число степеней свободы меньшей дисперсии)
Уровень значимости = 0,01 | ||||||||||||
К1 К2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
1 |
4052 |
4999 |
5403 |
5625 |
5764 |
5889 |
5928 |
5981 |
6022 |
6056 |
6082 |
6106 |
2 |
98,49 |
99,01 |
90,17 |
99,25 |
99,33 |
99,30 |
99,34 |
99,36 |
99,36 |
99,40 |
99,41 |
99,42 |
3 |
34,12 |
38,81 |
29,46 |
28,71 |
28,24 |
27,91 |
27,67 |
27,49 |
27,34 |
27,23 |
27,13 |
27,05 |
4 |
21,20 |
18,00 |
16,69 |
15,98 |
15,52 |
15,21 |
14,96 |
14,80 |
14,66 |
14,54 |
14,45 |
14,37 |
5 |
16,26 |
13,27 |
12,06 |
11,39 |
10,97 |
10,67 |
10,45 |
10,27 |
10,15 |
10,05 |
9,96 |
9,89 |
6 |
13,74 |
10,92 |
9,78 |
9,15 |
8,75 |
8,47 |
8,26 |
8,10 |
7,98 |
7,87 |
7,79 |
7,72 |
7 |
12,25 |
9,55 |
8,45 |
7,85 |
7,46 |
7,19 |
7,00 |
6,84 |
6,71 |
6,62 |
6,54 |
6,47 |
8 |
11,26 |
8,65 |
7,59 |
7,01 |
6,63 |
6,37 |
6,19 |
6,03 |
5,91 |
5,82 |
5,74 |
5,67 |
9 |
10,56 |
8,02 |
6,99 |
6,42 |
6,06 |
5,80 |
5,62 |
5,47 |
5,35 |
5,26 |
5,18 |
5,11 |
10 |
10,04 |
7,56 |
6,55 |
5,99 |
5,64 |
5,39 |
5,21 |
5,06 |
4,95 |
4,85 |
4,78 |
4,71 |
11 |
9,86 |
7,20 |
6,22 |
5,67 |
5,32 |
5,07 |
4,88 |
4,72 |
4,63 |
4,54 |
4,46 |
4,40 |
12 |
9,33 |
6,93 |
5,95 |
5,41 |
5,06 |
4,82 |
4,65 |
4,50 |
4,39 |
4,30 |
4,22 |
4,16 |
13 |
9,07 |
6,70 |
5,74 |
5,20 |
4,86 |
4,62 |
4,44 |
4,30 |
4,19 |
4,10 |
4,02 |
3,96 |
14 |
8,86 |
6,51 |
5,56 |
5,03 |
4,69 |
4,46 |
4,28 |
4,14 |
4,03 |
3,94 |
3,86 |
3,80 |
15 |
8,68 |
6,36 |
5,42 |
4,89 |
4,56 |
4,32 |
4,14 |
4,00 |
3,89 |
3,80 |
3,73 |
3,67 |
16 |
8,53 |
6,23 |
5,29 |
4,77 |
4,44 |
4,20 |
4,03 |
3,89 |
3,78 |
3,69 |
3,61 |
3,55 |
17 |
8,40 |
6,11 |
5,18 |
4,67 |
4,44 |
4,10 |
3,93 |
3,79 |
3,68 |
3,59 |
3,52 |
3,45 |
Уровень значимости = 0,05 | ||||||||||||
К1 К2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
1 |
161 |
200 |
216 |
225 |
230 |
234 |
237 |
239 |
241 |
242 |
243 |
244 |
2 |
18,51 |
19,00 |
19,16 |
19,25 |
19,30 |
19,33 |
19,36 |
19,37 |
19,38 |
19,39 |
19,40 |
19,41 |
3 |
10,13 |
9,55 |
9,28 |
9,12 |
9,01 |
8,94 |
8,88 |
8,84 |
8,81 |
8,78 |
8,76 |
8,74 |
4 |
7,71 |
6,94 |
6,59 |
6,39 |
6,26 |
6,16 |
6,09 |
6,04 |
6,00 |
5,96 |
5,93 |
5,91 |
5 |
6,61 |
5,79 |
5,41 |
5,19 |
5,05 |
4,95 |
4,88 |
4,82 |
4,78 |
4,74 |
4,70 |
4,68 |
6 |
5,99 |
5,14 |
4,76 |
4,53 |
4,39 |
4,28 |
4,21 |
4,15 |
4,10 |
4,06 |
4,03 |
4,00 |
7 |
5,59 |
4,74 |
4,35 |
4,12 |
3,97 |
3,87 |
3,79 |
3,73 |
3,68 |
3,63 |
3,60 |
3,57 |
8 |
5,32 |
4,46 |
4,07 |
3,84 |
3,69 |
3,58 |
3,50 |
3,44 |
3,39 |
3,34 |
3,31 |
3,28 |
9 |
5,12 |
4,26 |
3,86 |
3,63 |
3,48 |
3,37 |
3,29 |
3,23 |
3,18 |
3,13 |
3,10 |
3,07 |
10 |
4,96 |
4,10 |
3,71 |
3,48 |
3,33 |
3,22 |
3,14 |
3,07 |
3,02 |
2,97 |
2,94 |
2,91 |
11 |
4,84 |
3,98 |
3,59 |
3,36 |
3,20 |
3,09 |
3,01 |
2,95 |
2,90 |
2,86 |
2,82 |
2,79 |
12 |
4,75 |
3,88 |
3,49 |
3,26 |
3,11 |
3,00 |
2,92 |
2,85 |
2,80 |
2,76 |
2,72 |
2,69 |
13 |
4,67 |
3,80 |
3,41 |
3,18 |
3,02 |
2,92 |
2,84 |
2,77 |
2,72 |
2,67 |
2,63 |
2,60 |
14 |
4,60 |
3,74 |
3,34 |
3,11 |
2,96 |
2,85 |
2,77 |
2,70 |
2,65 |
2,60 |
2,56 |
2,53 |
15 |
4,54 |
3,68 |
3,29 |
3,06 |
2,90 |
2,79 |
2,70 |
2,64 |
2,59 |
2,55 |
2,51 |
2,48 |
16 |
4,49 |
3,63 |
3,24 |
3,01 |
2,85 |
2,74 |
2,66 |
2,59 |
2,54 |
2,49 |
2,45 |
2,42 |
17 |
4,45 |
3,59 |
3,20 |
2,96 |
2,81 |
2,70 |
2,62 |
2,55 |
2,50 |
2,45 |
2,41 |
2,38 |
1Выводы формул для числа размещений, а в последующем изложении - для числа сочетаний, - опускаются. Их можно найти в курсе элементарной алгебры.
2В учебниках по математической статистике вместо термина “статистическая совокупность” используется термин “набор данных”, а вместо термина “единица совокупности” используется термин “элемент выборки”.
3Для того, чтобы любые статистики служили хорошими оценками параметров генеральной совокупности, они должны обладать рядом свойств: несмещённости, эффективности, состоятельности, достаточности. Всем указанным свойствам отвечает выборочная средняя.s2выб.-смещённая оценка. Для устранения смещения при малых выборках вводится поправка nn-1 (cм. 7.1.).
4В литературе ( 1-n /N ) иногда называется "поправкой на бесповторность отбора".
5Для нормально распределенной случайной величиныа. Поэтому справедливо:.
6В этой работе рассматриваются первые два типа гипотез.
7Эти гипотезы часто называют параметрическими, тогда как все остальные - непараметрическими.