Тема 3. Формулы полной вероятности и байеса

Часто мы начинаем анализ вероятностей имея предварительные, априорные значения вероятностей интересующих нас событий. Затем из источников информации, таких как выборка, отчет, опыт и т.д. мы получаем дополнительную информацию об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем уточнить, пересчитать значения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей для тех же интересующих нас событий будут уже апостериорными (послеопытными) вероятностями. Теорема Байеса дает нам правило для вычисления таких вероятностей.

Последовательность процесса переоценки вероятностей можно схематично изобразить так:

Априорные Новая информация из Байесовский Апостериорные

вероятности каких-либо источников анализ вероятности

Пусть событие А может осуществиться лишь вместе с одним из событий Н₁, Н₂, Н₃, ..., Н_n, образующих полную группу. Пусть известны вероятности P(H₁), P(H₂),…P(H_i),…P(H_n). Так как события H_i образуют полную группу, то .Так же известны и условные вероятности события А: P(A/H₁), P(A/H₂), …P(A/H_i)…, P(A/H_n), i=1, 2, …, n. Так как заранее неизвестно с каким из событий H_i произойдет событие А, то события H_i называют гипотезами.

Необходимо определить вероятность события а и переоценить вероятности событий Hi с учетом полной информации о событии а.

Вероятность события А определяется как:

(3.1)

Эта вероятность называется полной вероятностью.

Если событие А может наступить только вместе с одним из событий Н₁, Н₂, Н₃, ..., Н_n, образующих полную группу несовместных событий и называемых гипотезами, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий Н₁, Н₂, ..., Н_n на соответствующую условную вероятность события А.

Условные вероятности гипотез вычисляются по формуле:

или (3.2)

Это - формулы Байеса, (по имени английского математика Т.Байеса, опубликовавшего их в 1764 году) выражение в знаменателе - формула полной вероятности.

Тема 4. Дискретные случайные величины.

4.1. Определение дискретной случайной величины.

Величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, заранее неизвестно, какое именно, называется случайной величиной.

Дискретной случайной величиной называется такая переменная величина, которая может принимать конечную или бесконечную совокупность значений, причем принятие ею каждого из значений есть случайное событие с определенной вероятностью.

Соотношение, устанавливающее связь между отдельными возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения дискретной случайной величины. Если обозначить возможные числовые значения случайной величины Х через х, х, ......, а черезвероятность появления значения, то дискретная случайная величина полностью определяется следующей таблицей 4.1:

Таблица 4.1

			...
	p1		...

где значения х, х,...,,записываются, как правило, в порядке возрастания. Таблица называетсязакономилирядом распределениядискретной случайной величины Х. Поскольку в верхней строчке ряда распределения записаны все значения случайной величины Х, то нижняя строчка обладает тем свойством, что

(4.1)

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения(полигоном распределения) (рис. 4.1):

Рис.4.1.

Для этого по оси абсцисс откладывают значения случайной величины, по оси ординат - вероятности значений. Полученные точки соединяют отрезками прямой. Построенная фигура и называется многоугольником распределения вероятностей.

Дискретная случайная величина может быть задана функцией распределения .

Функцией распределенияслучайной величины Х называется функция F (x), выражающая вероятность того, что Х примет значение, меньшее чем х:

(4.2)

- здесь для каждого значения х суммируются вероятности тех значений , которые лежат левее точки х.

Функция F (x) есть неубывающая функция;

Для дискретных случайных величин функция распределения F(x) есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева (рис. 4.2):

F(x)

p₃

p₂

p1

x₁x₂ 0 х₃x_j

Рис.4.2.

Вероятность попадания случайной величины Х в промежуток от до(включая) выражается формулой:

(4.3)