4.5. Гипергеометрическое распределение.

Пусть имеется множество N элементов, из которых М элементов обладают некоторым признаком A. Извлекается случайным образом без возвращения n элементов. Требуется найти вероятность того, что из них m элементов обладают признаком A. Искомая вероятность (зависящая от N, M, n, m) определяется по формуле:

(4.15)

Если по формуле (4.15) вычислить вероятности для всех возможных значений m, то полученный ряд распределения называется гипергеометрическим законом распределения (таблица 4.5):

Таблица 4.5

M	0	1	2	...	n
P(X=m)				...

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины m, распределенной по гипергеометрическому закону, определяются формулами:

(4.16)

(4.17)

5. Непрерывные случайные величины.

5.1. Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины.

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна и имеет производную.

Как уже было показано в разделе 4 (формула 4.2), функцией распределения случайной величины Х называется функция F(X), выражающая вероятность выполнения условия :

(5.1)

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1.Вероятность попадания случайной величины в промежуток от доравна приращению функции распределения на концах этого промежутка:

(5.2),

так как вероятность любого отдельного значения случайной величины равна нулю, если функция распределения непрерывна при этом значении, т. е. :

, когда F(X) - непрерывна в точке =

2.Функция распределения удовлетворяет условиям:

( 5.3)

Плотностью распределения (дифференциальной функцией)непрерывной случайной величины называется функция

f(x) =(x).(5.4)

Плотность распределения любой случайной величины неотрицательна:

Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах от -до +равен 1:

(5.5)

График функции y = f(x) называется кривой распределенияили графиком плотности распределения. Кривая y = f (x) располагается над осью абсцисс.

Вероятность попадания случайной величины в промежуток от доможет быть вычислена по формуле:

(5.6)

Подинтегральное выражение f(x)dxназывается элементом вероятности. Оно выражает вероятность попадания случайной точки в промежуток между точками х и, гдебесконечно малая величина.

Функция распределения F(x) выражается через плотность f(x) формулой :

(5.7)

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х вычисляется по формуле:

(5.8),

дисперсия (5.9)

5.2. Нормальное распределение

Если плотность распределения (дифференциальная функция) случайной переменной определяется выражением:

(5.10)

то говорят, что Х имеет нормальное распределение с параметрами а и. Вероятностный смысл параметров: =М(X), а.Обозначение:

Для расчета вероятности попадания нормально распределенной случайной величины Х в промежуток от доиспользуется формула:

(5.11)

(интеграл Лапласа)

Формула (5.11) иногда в литературе называется интегральной теоремой Лапласа.

Функция обладает свойствами:

3)(см. таблицу приложения 2).

Функция табулирована. В частности для симметричного относительно а промежуткаимеем:

(5.12)

Формула (5.12) применима и к частоте m,поскольку ее закон распределения при достаточно большом числе испытаний практически совпадает с нормальным. Применительно к случайной величинеm, с учетом ее числовых характеристик

M(m) = npи(5.13)

формула (5.12) примет вид :

(5.14)

Формула (5.12) может быть применена и к относительной частоте с числовыми характеристикамии(5.15)

(5.16)

С вероятностью, очень близкой к единице (равной нормально распределенная случайная величина Х удовлетворяет неравенству:

(5.17)

В этом состоит правило трех сигм: если случайная величина распределена по нормальному закону, то ее отклонение от математического ожидания практически не превышает.

Локальная теорема Муавра-Лапласа.При ри p1 и достаточно большом n биноминальное распределение близко к нормальному закону (причем их математические ожидания и дисперсии совпадают), т.е. имеет место равенство:

, где ,a=nр

Тогда:

(5.18)

для достаточно больших n (здесь (х) - плотность вероятностей стандартной нормальной случайной величиныи).