3.5. Линии второго порядка. Эллипс, вывод уравнения и его исследование.

1) Эллипс – геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называется фокусами, если величина постоянная, требуется, чтобы эта величина была больше расстояния между фокусами.

F1M+F2M=2a (1)

F1F2=2c; 2a>2c (2)

Вершина эллипса – это точки пересечения эллипса с осями координат. Эллипс имеет четыре вершины.

Фокусы эллипса – это точки на оси симметрии, F1(-c,0) F2(c,0) где с – фокусное расстояние (расстояние от центра до фокуса)

Параметры эллипса:

2a – большая (фокальная) ось

2b – малая ось

Эксцентриситетом эллипса называется отношение e=c/a. Выразим эксцентриситет через полуоси a и b: e²=c²/a²=(a²-b²)/a²=1-b²/a²

Видно, что 0<=e<=1

Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем больше эксцентриситет, тем больше вытянут эллипс вдоль большой оси (или сильнее сплюснут к большой оси)

Фокальный радиус эллипса – это расстояние от эллипса до фокуса. Каждой очки эллипса соответствует два фокальных радиуса.

Фокальные свойства:

Сумма фокальных радиусов большой оси, т.е. r1+r2=2a

Вывод уравнения:

F1(-c,0); F2(c,0); M(x,y); r2=F1M; r1=F2M

r2=√(x+c)²+y² r1=√(x-c)²+y²

r1+r2=2a → =√(x+c)²+y² + √(x-c)²+y² = 2a

→=√(x+c)²+y² =2a-=√(x-c)²+y² (возведем в квадрат)

(x+c)²+y²=4a²-4a√((x-c)²+y²)+(x-c)²+y²

a√(x-c)²+y²=a²-cx (возведем в квадрат)

a²((x-c)²+y²)=a⁴-2a²cx+c²x²

a²((x²-2cx+c²) +y²)=a⁴-2a²cx+c²x²

a²x²-2a²cx+a²c²+a²y²= a⁴-2a²cx+c²x²

(a²-c²)x²+a²y²=a²(a²-c²)

Введем b²=a²-c² ( b=√a²-c², a>c)

b²x²+a²y²=a²b²

(Умножим на (1/b²a²))

x²/a²+y²/b²=1 каноническое уравнение эллипса

3.6 Гипербола. Вывод уравнения гиперболы и его исследование.

Геометрическое место точек, для которых разность расстояний до 2х фиксированных точек плоскости называется фокусами, если величина постоянная.

Представляет собой две дуги, каждая из которых расположена в правой и левой полуоси.

Вершина гиперболы – точка пересечения эллипса с осью симметрии. Гипербола имеет две вершины.

Фокусы гиперболы – Точка на оси симметрии F1(-c,0) F2 (c,0) , где с – фокусное расстояние (расстояние от центра до фокуса)

Параметры гиперболы:

2а – действительная (фокальная) ось

2b – мнимая ось

Оси пресекаются в центре симметрии.

Эксцентриситет гиперболы называется e=c/a

Выразим эксцентриситет через полуоси a и b: e²=c²/a²=(a²+b²)/a²=1+b²/a²

видно, что е>1

Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: чем меньше эксцентриситет, тем меньше отношение b/a и тем больше вытянут вдоль действительной оси прямоугольник, построенный на осях 2а и 2b. Т.е. чем ближе эксцентриситет к 1, тем больше гипербола сплюснута к действительной оси.

Фокальный радиус гиперболы – расстояние от гиперболы до фокуса. Каждой точки гиперболы соответствует два фокальных радиуса r1 и r2, при этом r1=ex+a, r2=ex-a

Фокальное свойство гиперболы: модуль разности фокальных радиусов равен действительной оси, т.е. |r1-r2|=2a

Асимптоты гиперболы – это прямые, к которым гипербола неограниченно близко приближается при бесконечном удалении от центра. Гипербола имеет 2е асимптоты: y=±b/a*x

Правило построения асимптоты по каноническому уравнению:

асимптоты являются продолжением диагоналей прямоугольника со сторонами 2а и 2b.

F1, F2 – фокусы

|F1,F2|=2c

|F1M|=r1 |F2M|=r2

r1-r2=±2a (1)

2a<2c ↔ a<c

r1=√(x+c)²+y²

r2=√(x-c)²+y²

√(x+c)²+y²-√(x-c)²+y²=±2a

√(x+c)²+y²=±2a+√(x-c)²+y² возведем в квадрат

(x+c)²+y²=4a²±4a√((x-c)²+y²)+(x-c)²+y²

x²+2xc+c²=4a²±4a√((x-c)²+y²)+x²-2xc+c²

cx=a²±a√((x-c)²+y²)

±a√((x-c)²+y²)= cx-a² возведем в квадрат

a²((x-c)²+y²)=с²x²+2cxa²+a⁴

a²(x²-2cx+c²+y²)= с²x²+2cxa²+a⁴

a²x²+a²c²+a²y²=c²x²+a⁴

a²x²-c²x²-y²a²=a⁴-a²c²

x²(a²-c²)+y²a²=a²(a²-c²)

Введем b=√c²-a²

x²b²+y²a²=a²b² (разделим на a²b²)

x²/a²-y²/b²=1 каноническое уравнение гиперболы

асимптоты ортогональны

если a=b то равносторонняя гипербола