1.Произведение:

Произведение вектора а на число λ называется вектор b, определенный следующими условиями:

1)модуль вектора b равен произведению модуле сомножителей

|b|=| λ|*|a|

2) векторы a и b коллинеарны

a||b

3) a и b сонаправлены если λ>0, и направлены противоположно, если λ<0

При умножении вектора на ноль получится нулевой вектор с неопределенным направлением.

2. Сложение

Сложение выполняется по правилу треугольника или параллелепипеда:

Треугольника:

1) конец первого вектора совместить с началом второго.

2) провести вектор из начала первого в конец второго, он и будет равен сумме ветров.

Сложение по правилу треугольников обобщается на сумму нескольких векторов.

Параллелепипеда:

Суммой двух векторов называется вектор, служащий диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.

1) совместить начала суммируемых векторов

2) на суммируемых векторах построить параллелограмм

3)построить вектор на диагонали параллелограмма.

Свойства линейных операций над векторами:

1) переместительный закон сложения

a+b=b+a

2) сочетательный закон

a+b+c=a+(b+c)=(a+b)+c

λaβ= λ(aβ)= (λa)β

3) распределительный зако

λ(a+b)= λa+ λb

(α+β)a=αa+βa

Угол между векторами:

Угол между двумя векторами называется наименьший угол на который нужно повернуть один из векторов до совмещения с другим. ( сначала нужно совместить их начала)

Если угол между векторами прямой, то они ортогональный между собой.

Проекция вектора на вектор и на ось.

Проекцией вектора a на вектор b называется число, вычисленное по правилу:

пр_ba=|a|cosφ

Геометрический смысл проекции: Из начала и конца вектора a опустим перпендикуляры на вектор b. Получим некоторый отрезок, являющийся проекцией:

Знак проекции:

Проекция может быть положительной, отрицательной или равной нулю.

1) если угол между векторами острый, то проекция >0

2)если угол тупой, то проекция <0

3) если угол прямой, то проекция равна нулю

Ось- прямая, на которой выбрано положительное направление и масштаб. Проекция вектора на ось l вычисляется по аналогичной формуле:

пр_la=|a|cosφ

где φ- угол между вектором и положительным направлением оси.

Равные векторы имеют одинаковую проекцию на один и тот же вектор или одну и туже ось.

2.2. Линейная зависимость векторов. Базис. Декартов базис.

Векторы a1,a2,a3,..,an называются линейно зависимыми, если существуют числа λ1, λ2, λ3,…, λn не все равные нулю, для которых линейная комбинация является нулевой, т.е.

λ1а1+ λ2а2+…+ λn*an=0

где 0-нулевой вектор

Векторы a1,a2,a3,..,an называются линейно независимыми, если равенство

λ1а1+ λ2а2+…+ λn*an=0

выполняется только тогда, когда λ1= λ2= λ3=…= λn=0

Условие того, что не все коэффициенты равны нулю, записывается в виде

λ1²⁺ λ2²+…+ λn²≠0

Смысл линейной зависимости векторов:

1) Если векторы линейно зависимы, то хотя бы один из них можно выразить через линейную комбинацию остальных.

2) Если один из векторов может быть представлен в виде линейной комбинации других, то все векторы данной линейно зависимы(обратное утверждение)

Теорема о линейной зависимости коллинеарных векторов:

Для того, чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Теорема о линейной зависимости компланарных векторов:

Для того, чтобы три вектора были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарными.

Три вектора на плоскости всегда линейно зависимы.

Если их больше трех, то они тоже линейно зависимы.

Теорема 1:

Максимальное число линейно независимых векторов n-мерного пространства равно в точности размерности этого пространства.

Док-во:

Рассмотрим En векторы (орты)

Е1=(1,0,…,0)

E2=(0,1,0,…,)

En=(0,0,…,1)

с1e1(вектор е)+…+сnen(вектор е)=0

x=(единичная матрица) = E

detX=1

Базис

Базисом на плоскости являются два линейно независимых вектора, т.е. любые два неколлинеарных вектора.

Если a и b образуют базис, то любой вектор c можно разложить как c=αa+βb, где α и β координаты вектора c

Базисом трехмерного пространства является три линейно независимых вектора, т.е. любая тройка некомпланарных векторов.

Если a,b,c образую базис трехмерного пространства, то вектор d можно разложить по данному базису:

d=αa+βb+γc

Теорема 1:

Базисом n-мерного пространства называется любая совокупность n линейно независимых векторов этого пространства.

Пусть a1,a2,a3,…,an линейно независимые векторы. Тогда любой b вектор пространства можно разложить по данному n-мерному базису:

b=λ1a1+ λ2a2+ λ3a3+…+ λn*an

Теорема 2:

Каждый вектор n-мерного пространства En может быть представлен, и при том единственным образом, в виде линейной комбинации базисных векторов.

Док-во:

Пусть x принадлежит En, a1,…,an – базис. По теореме о максимальном числе линейно независимых векторов n-мерного пространства система векторов х,a1,…,an линейно зависима→с0x+C1a1+…+CnAn=0 (не все С равны нулю)

В частности, C0 равно нулю → все С (с первого и до n-го равны нулю) (абсурд)

С0 не равно нулю →х=ζ1а1+ζ2а2+…+ζn*an (часть теоремы доказана)

ζj=-Cj//C0, j=1,…,n

ζ1,…, ζn – координаты вектора х в заданном базисе.

x(вектор с волной)`=ζ`1a1+…+ζ`n*an

x-x`→ζj=ζ`j

Вектор на плоскости:

Декартова прямоугольная система координат на плоскости задается двумя единичными ортогональными векторами i и j, называются ортами.

Пусть а-вектор в этой системе координат, а его проекции на оси Оx, Oy, равны соответственно ax,ay. Тогда вектор можно представить в вид линейной комбинации базисных векторов:

a=ax*i+ay*j, где ax,ay координаты вектора.

Декартов базис в пространстве:

Декартова прямоугольная система координат в пространстве задается тремя взаимно ортогональными единичными векторами i,j,k которые называются ортами.

Пусть а-вектор в этой системе координат, а его проекции на оси Оx, Oy, Oz равны соответственно ax,ay,az. Тогда вектор можно представить в вид линейной комбинации базисных векторов:

a=ax*i+ay*j+az*k, где ax,ay,az координаты вектора.

Теорема:

Для любого вектора А, есть xi+yj+zk

Разложение единственно

x,y,z-проекция вектора А на координатные оси.

Док-во из Теоремы 2 наверху.

Длина вектора

ОА²=OA²x+OA²y+OA²z→

вектор |a|=|OA|=квадратный корень из (x²+y²+z²)

Вектор с заданными началом и концом:

Пусть А(x1,y1,z1); B(x2,y2,z2)

AB={x2-x1,y2-y1,z2-z1}

AB=OB-OA(разность векторов)

Направляющие косинусы вектора:

cosα,cosβ,cosγ – направляющие косинусы.

cosα=x/|a|(вектор а)

cosβ= y/|a|

cosγ= z/|a|

cos²α+cos²β+cos²γ=1

Единичный вектор вектора а:

a⁰=a/|a|={x/|a|, y/|a|, z/|a|}={ cosα,cosβ,cosγ }

Если известны два угла (из α,β,γ) то можно найти третий, при наличии информации о том острый он или тупой