1.7. Исследование систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Однородные системы линейных алгебраических урав­нений.

Исследовать СЛАУ – это значит до нахождения решения ответить на два вопроса:

1) совместна ли она

2) определена или неопределена система.

Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Если у системы есть хотя бы 1 решение, то она называется совместной.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение.

Неопределенной если решений больше 1.

Теорема Кронекера-Капелли:

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…..

as1x1+as2x2+…+asnXn=bs

(1) s≠n

СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда r(A)=r(A|B)

Док-во:

а) необходимость

Пусть {k1,…,kn} – набор чисел – решение (1)

a11 a12 a1n b1

k1*(a21)+ k2*(a22)+ kn*(a2n)+ =(b2)

as1 as2 asn bs

→столбец (b1,…,bs)^T линейная комбинация столбцов матрицы А→ (b1,…,bs)^T линейная комбинация базисных(базовых) столбцов матрицы А→r(A)=r(A|B)

б) достаточность

Пусть r(A)=r(A|B)=r →

a11 a12 a12+1 b1

k`1*(a21)+ k`2*(a22)+ 0*(a22+1)+…+0() = (b2)

as1 as2 asr+1 bs

Таким образом мы получим по крайней мере одно решение.

x` (черта)={k'1,k'2,0,...0}

Система линейных однородных уравнений:

a11x1+a12x2+…+a1nXn=0

a21x2+a22x2+…+a2nXn=0

…

as1x1+as2x2+…+asnXn=0

(4) Из т. К-К следует, что (4) всегда совместна, т.к. всегда r(A)=r(A|B) (столбец правых частей нулевой)

Справедливы утверждения:

1. Если r=n (S>=n), то нулевое решение (4) будет единственным решением (4)

2. Если r<n, то система (4) обладает ненулевыми решениями (часть переменных становиться свободными и образуют ненулевую правую часть)

3. Система n линейных однородных уравнений тогда и только тогда имеет ненулевые решения, когда det(A)=0

4. Если в однородной системе (4) число уравнений S<n, то (4) имеет ненулевые решения.

Свойства решений однородной СЛАУ:

1. Если k’={k1,k2,…,kn} – решение (4), то k``=βk`={βk1,βk2,…,βkn} –решение (4), β – произвольная константа.

2. Пусть k` и h` - два решения (4), тогда k`+h`={k1+h1,k2+h2,…,kn+hn} –решение (4)

Всякая линейная комбинация решений (4) также решение (4)

2.1. Геометрический вектор. Равенство векторов, коллинеарность, компла­нарность. Линейные операции над векторами.

Геометрический вектор – это отрезок имеющий начало и конец.

А-начало

В-конец

Модуль вектора – это число, равное расстоянию между началом и концом.

Нулевой вектор – это вектор, начало и конец которого совпадают.

Единичный вектор – вектор, модуль которого равен единице.

Векторные и скалярные величины:

Векторная величина – величина, задаваемая с помощью вектора. Характеризуется числом и модулем.

Скалярная величина – величина, задаваемая только числом.

Равенство векторов:

Два вектора равны, если лежат на параллельных прямых или на одной прямой, сонаправлены и имеют равные модули.

Два вектора равные третьему, равны между собой.

Свободный вектор – можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства. При этом вектор остается равный самому себе.

Коллинеарность и компланарность векторов

Два вектора коллинеарны, если они расположены на одной или параллельных прямых.

A||b

Если а- ненулевой вектор, то для любого коллинеарного вектора b существует единственное число λ, такое что b=λa

Если λ>0 - сонаправлены, λ<0 - направлены противоположно.

Три вектора называются компланарными, если они расположены в параллельных плоскостях (если их свести к общему началу, то на одной плоскости)

Линейные операции над векторами: