3.7. Парабола, вывод уравнения, его исследование.
Геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой называемой фокусом директриса.
Прямая не проходит через фокус.
d=|MQ|
F1(P/2,0) Q(-P/2,y)
r=√(x-p/2)2+y2
d=√((x+p/2)2+(y-y)2)
(x-p/2)2+y2=(x+p/2)2
x2-xp+p2/4+y2=x2+xp+p2/4
y2-xp=xp
y2=2xp каноническое уравнение параболы.
y2=2px → ±√2px
x=1 → ±√2p правосторонняя парабола
Задачи на кривые второго порядка:
Определить фокусы эллипса:
x2/25+y2/16=1
a2=25 b2=16
c2=a2-b2 → 3
F1(-3,0) F2(3,0)
3.8 Преобразование декартовой системы координат.
1) Преобразование декартовых координат при параллельном сдвиге осей.
1. Дано уравнение x2+y2+2ax+2by-c2=0 какую кривую представляет это уравнение?
Выделим полные квадраты:
x2+2ax+a2-a2+y2+2by+b2-b2-c2=0
(x+a)2+(y+b)2=a2+b2+c2=R2
Введем новые переменные:
x`=x+a
y`=y+b
(x`)2+(y`)2=R2 – уравнение окружности в новой системе координат
Центр (начало) системы координат:
x`=0 →x+a=0 →x=-a
y`= →y+b=0 →y=-b
Преобразование вида x`=x+a y`=y+b называется преобразованием сдвига (параллельного переноса системы координат). Масштаб остается неизменным.
2) Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей.
Поворот осей – такое преобразование при котором поворачивается на один угол координатные оси, а начало координат остается неизменным.
β=Q-α
Полярные координаты:
ρ=√x2+y2
x= ρcosQ, y= ρsinQ
x`= ρcosβ y`= ρsinβ
x= ρ(cos(β+α)= ρ(cosβcosα-sinβsinα)= ρ*cosβ*cosα-ρ*sinβ*sinα=x`cosα-y`sinα
y= ρ(sin(β+α)= ρ(sinβcosα+cosβsinα)= ρ*sinβ*cosα+ρ*cosβ*sinα=x`sinα+y`cosα
x= x`cosα-y`sinα | → (x)= (sinα -cosα)(x`)
y= x`sinα+y`cosα | → (y) (sinα cosα)(y`) (1)
(x`)=( cosα sinα)(x)
(y`) ( -sinα cosα)(y) (1*)
Из (1) следует →
|x -sinα|
x`=_|y cosα|_= (xcosα+ysinα)/(cos2α+sin2α); y`= |cosα x|= (-xsinα+ycosα)/(1)
|cosα -sinα| |sinα y|
|sinα cosα| 1
Матрица U= (cosα sinα) - матрица поворота
(-sinα cosα)
3.9. Приведение кривой второго порядка к каноническому виду.
Алгоритм:
а) в группе старших членов добиться исчезновения смешанных слагаемых (с произведением текущих координат)
б) освободиться от членов 1ой степени.
в) Свободные слагаемые перенести в правую часть. Записать каноническое уравнение.
Пример:
17x2+12xy+9y2-46x-28y+17=0 (1)
1)