1.5. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы. Теоремы о ранге матрицы.

Минором k-го порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы, полученный из матрицы А выделением произвольных k строк и k столбцов.

Сами элементы матрицы являются минорами первого порядка.

Определение: Строки a,b,d… называются линейно зависимыми если найдутся c1,…,cn (не все равные нулю) такие что

С1Aj+c2bj+c3dj…=0

Определ2: Строки называются линейно независимыми если с1=с2=с3=…=0

Ранг матрицы.

Теорема о ранге:

Рангом матрицы называется наивысший порядок минора, отличный от нуля.

Максимальное число линейно независимых строк (столбцов) называются рангом матрицы.

Ранг матрицы А: r_A, r(A), rangA, RgA

Ранг не может превосходить размер матрицы.

Т.е. если дана матрица размером m x n то r_A <=m и r_A <=n

Нулевая матрица имеет ранг равный нулю. Ненулевая ранг >= 1

Если r_A – минор матрицы А, то в этой матрице имеется хотя бы один ненулевой минор порядка r_A, а миноры порядков r_A+1 r_A+2 … равны нулю.

Теорема о равенстве рангов эквивалентных матриц:

Ранги эквивалентных матриц равны, т.е. элементарные преобразования не меняют ранга матрицы

Эквивалентные матрицы – одна получена из другой с помощью конечного числа элементарных преобразований.

Теорема об умножении на невырожденную матрицу:

Ранг матрицы не изменится при умножении на невырожденную квадратную матрицу.

Вычисление ранга матрицы:

Метод окаймленных миноров:

При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков.

+ основан на определении ранга матрицы как наивысшего порядка минора, отличного от нуля.

-для матрицы с большими размера необходимо рассматривать много вариантов и вычислять много определителей.

Метод элементарных преобразований:

Теоретической базой метода является теорема о равенстве рангов эквивалентных матриц.

Правило вычисления ранга матриц этим методом:

1. Элементарные преобразования проводить так, чтобы в верхнем левом углу матрицы получить единичную (или треугольную) матрицу.

2.Нулевые строки переставлять вниз, а нулевые столбцы вправо.

3. Ранг матрицы равен порядку полученной единичной или треугольной матрицы.

1.6. Системы линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса. Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы.

Системой линейных уравнений называется система уравнений вида:

a11x1+ a12x2 + … +a1nXn =b1

a21x1+ a22x2 + … +a2nXn =b2

………….

am1x1 am2x2 + … +amnXn=bm

где x1,x2,… неизвестные, a_ij коэффициент при неизвестных;

b1,b2,..bm свободные члены; m – число уравнений; n – число неизестных;

i=1,2,…,m j=1,2,…,n

Уравнение называется линейным, т.к. неизвестные входят во все уравнения в первой степени.

Решение СЛАУ: Совокупность чисел L1,L2,...Ln называется решением системы, если после подстановки x1=L1, x2=L2, xn=Ln каждое уравнение системы превращается в тождество.

Метод Гаусса (последовательное исключение) решения СЛАУ.

Матрица записывается как (A|B)

1. Прямой ход (преобразование исходной матрицы в верхне-треугольную.

2. Получение единичной диагонали.

И нахождение неизвестных начиная снизу.

+является универсальным, охватывает все возможные случаи в решении

+является экономичным, по сравнению с методом Крамера

Решение СЛАУ с помощью обратной матрицы:

Квадратная матрица и detA≠0. В этом случае можно найти решение с помощью обратной матрицы, т.к. detA≠0 и А^-1 существует.

Умножим обе части матричного уравнения АХ=В на матрицу A^-1

Слева: АХА^-1= А^-1В, откуда Х= А^-1В

XA=B→XAA^-1=BA^-1 →X=BA^-1

A1XA2=B → X=A1^-1BA2^-1