Вопросы для самопроверки
Какие существуют основные формы мышления?
В чём состоит разница между содержанием и объёмом понятия?
Может ли быть высказывание выражено в форме вопросительного предложения?
Как определяется истинность или ложность простого высказывания? Составного высказывания?
Что содержат таблицы истинности и каков порядок их построения?
Какие логические выражения называются равносильными?
Какое количество логических функций двух аргументов существует и почему?
Какие логические функции двух аргументов имеют свои названия?
Какое существует количество логических функций трёх аргументов?
Решение логических задач
Примеры решения задач
Пример 1
Какой логической операции соответствует таблица истинности?
-
A
B
0
0
0
1
1
0
1
1
F=A → B
Таблица истинности соответствует логической функции «импликация».
Пример 2
Найти
значение логического выражения
,
при А=0 (false), В=1 (True), С=0 (False).
Решение: подставим значения переменных в выражение и вычислим его согласно приоритету выполнения операций:
=0
v
1 &
=0
v
1& 1=0 v
1=1 (True).
Ответ: данное логическое выражение имеет значение True.
Пример 3
Найти значение логического выражения: (А<В) v (В>2) v (А ≠ 5) при А=5, В=-4.
Решение: Подставим значения переменных в выражение и вычислим его согласно приоритету выполнения операций:
(5<-4) v (-4>2) v (5 ≠ 5)=0 v 0 v 0=0.
Пример 4
Упростить
логическое выражение: (А & В) v
(А
& 
).
Правильность упрощения проверить с
помощью таблиц истинности.
Решение: Воспользуемся законом диструбтивности и вынесем за скобки А:
(А
& В) v
(А
& 
)
= А & (В v
).
По
закону исключённого третьего В v
= 1, следовательно,
А
& (В v
)
= А & 1 = А.
Таким образом
(А
& В) v
(А
& 
)
= А.
Составим
таблицу истинности для выражения (А
& В) v
(А
& 
)
|
А |
В |
|
А & В |
А
& |
(А
& В) v
(А
& |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
)
)Пример 5
По заданной логической схеме составить логическое выражение и заполнить для него таблицу истинности.
Решение:
Используя обозначения логических
элементов, составим логическое выражение
.
Заполним для F таблицу истинности
-
X
Y
Z
X & Y
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
Пример 6
Какое из приведённых имён удовлетворяет логическому условию:
(первая буква согласная → вторая буква согласная) Λ (предпоследняя буква гласная → последняя буква гласная)?
1) КРИСТИНА
2) МАКСИМ
3) СТЕПАН
4) МАРИЯ
Решение: Имя должно удовлетворять условию, значит, F=1.
Заменим выражения на логические переменные:
первая буква согласная – А
вторая буква согласная – В
предпоследняя буква гласная – С
последняя буква гласная – D
(A→B)Λ(C→D) = 1.
Расставляем приоритеты логических операций. Сначала должна выполняться конъюнкция. Чтобы выражение было равно 1, необходимо, чтобы (A→B) = 1 и (C→D) = 1.
Теперь рассмотрим импликации. В каждой из них есть по 3 возможных варианта, когда импликация равна 1.
A→B = 1.
-
А
В
A→B
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
C→D=1.
-
C
D
С→D
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Теперь будем проверять каждое имя.
КРИСТИНА: А=1, В=1, С=0, D=1 .A→B=1.C→D=1. Следовательно, это имя подходит.
МАКСИМ: А=1, В=0, С=1, D=0. A→B=0. C→D=0. Следовательно, это имя не подходит.
СТЕПАН: А=1 ,В=1, С=1, D=0 .A→B=1 .C→D=0. Следовательно, это имя не подходит.
МАРИЯ: А=1,В=0,С=1,D=1.A→B=0.C→D=1. Следовательно, это имя не подходит.
Пример 7
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
-
X
Y
Z
F
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
Какое выражение соответствует F?
1) X Λ Y Λ Z
2) ¬X V ¬Y V Z
3) X V Y V Z
4) ¬XΛ¬YΛ¬Z
Решение: Будем решать подстановкой предлагаемых вариантов.
1) F=X Λ Y Λ Z = 1 только в случае, когда X, Y, Z = 1. Проверяем по таблице. Этому условию не удовлетворяют вторая и третья строки таблицы. Не подходит.
2) F=¬XV¬Y V Z. Подставляем значения из таблицы:
для первой строки F=0 V 0 V 1=1 в случае, когда хотя бы одно из значений X, Y или Z =1
для второй строки F = 0 V 0 V 0=0. Следовательно, не подходит.
3) F=X V Y V Z=1 Проверяем по таблице. Подходит для всех трёх строк таблицы.
4) F=¬XΛ¬YΛ¬Z. Подставляем значения из таблицы:
F = 0 Λ 0 Λ 0=0. Следовательно, не подходит.
Ответ: выражение 3) F=X V Y V Z=1
Пример 8
Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению:
A V ¬(¬B Λ¬C):
1) ¬A V B V ¬C
2) A V (B Λ C)
3) A V B V C
4) A V ¬B V ¬C
Решение: выносим за скобки операцию отрицания AV¬(¬BΛ¬C)=AV¬¬(BΛC)
двойное отрицание логического выражения AV¬¬(BΛC) даёт выражение A V (B ΛC)
Ответ: AV¬(¬BΛ¬C) = A V (B Λ C).
Тесты
1. Наука, изучающая законы и формы мышления, называется:
а) алгеброй;
б) геометрией;
в) философией;
г) логикой.
2. Повествовательное предложение, в котором что-то утверждается или отрицается, называется:
а) выражением;
б) вопросом;
в) высказыванием;
г) умозаключением.
3. Какое из следующих высказываний является истинным:
а) город Париж – столица Англии;
б) 3+5=2+4;
в) II + VI = VIII;
г) томатный сок вреден.
4. Объединение двух высказываний в одно с помощью союза «и» называется:
а) инверсией;
б) конъюнкцией;
в) дизъюнкцией;
г) импликацией.
5. Логической операцией не является:
а) логическое деление;
б) логическое сложение;
в) логическое умножение;
г) логическое отрицание.
6. Логическая функция – это:
а) простое высказывание;
б) составное высказывание;
в) вопросительное предложение;
г) логическая операция.
7. Объединение двух высказываний в одно с помощью оборота «если…, то…» называется:
а) инверсией;
б) конъюнкцией;
в) дизъюнкцией;
г) импликацией.
8. Таблица, содержащая все возможные значения логического выражения, называется:
а) таблицей ложности;
б) таблицей истинности;
в) таблицей значений;
г) таблицей ответов.