2. Логическое равенство (эквивалентность)

Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «…тогда и только тогда, когда …».

Логическая операция эквивалентности «А тогда и только тогда, когда В» обозначается А≡В, А~В и выражается с помощью логической функции F₁₀, которая задаётся соответствующей таблицей истинности (таблица 16).

Таблица 16 – Таблица истинности логической функции эквивалентности

A	B	F10 (А~В)
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности, истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.

Рассмотрим, например, два высказывания: А = «Компьютер может производить вычисления» и В = «Компьютер включён».

Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, истинно, когда оба высказывания либо истинны, либо ложны:

«Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включён».

«Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включён».

Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, ложно, когда одно высказывание истинно, а другое — ложно:

«Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включён».

«Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включён».

7. Логические законы и правила преобразования логических выражений

Законы логики отражают наиболее важные закономерности логического мышления. В алгебре высказываний законы логики записываются в виде формул, которые позволяют выполнять эквивалентные преобразования логических выражений.

Для логических величин обычно используются три операции:

1. Конъюнкция – логическое умножение (И) – and, &, Ʌ.

2. Дизъюнкция – логическое сложение (ИЛИ) – or, |, v.

3. Логическое отрицание (НЕ) – not, ¬.

1. Закон тождества

Всякое высказывание тождественно самому себе:

А = А

2. Закон непротиворечия

Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Если высказывание А истинно, то его отрицание не А должно быть ложным. Следовательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно:

А & Ā=0

3. Закон исключённого третьего

Высказывание может быть либо истинным, либо ложным – третьего не дано. Это означает, что результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение «истина»:

А v Ā=1.

4. Закон двойного отрицания

Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате мы получим исходное высказывание:

=А.

5. Законы де Моргана (общей инверсии)

= Ā & ;

= Ā .

Важное значение для выполнения преобразований логических выражений имеют законы алгебраических преобразований. Многие из них имеют аналоги в обычной алгебре.

6. Закон коммутативности (переместительный)

В обычной алгебре слагаемые и множители можно менять местами. В алгебре высказываний можно менять местами логические переменные при операциях логического умножения и логического сложения:

Логическое умножение А & В = В & А.

Логическое сложение A v В= A v В.

7. Закон ассоциативности (сочетательный)

Если в логическом выражении используются только операция логического умножения или только операция логического сложения, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять:

Логическое умножение Логическое сложение

(А & B) & С =A & (B & С). (A v В) v С = A v (B v С).

8. Закон дистрибутивности (распределительный)

В отличие от обычной алгебры, где за скобки можно выносить только общие множители, в алгебре высказываний можно выносить за скобки как общие множители, так и общие слагаемые:

Дистрибутивность умножения относительно сложения	Дистрибутивность сложения относительно умножения
ab+ ас = а(b+с) — в алгебре (А & В) v (A & С) =А & (B v С)	(A v В) & (A v С) = A v (B & С)

Рассмотрим в качестве примера применения законов логики преобразование логического выражения. Пусть нам необходимо упростить логическое выражение (А & В) v (А & ).

Воспользуемся законом дистрибутивности и вынесем за скобки А:

(А & В) v (А & ) = А & (B v ).

По закону исключённого третьего В v =1, следовательно:

А&(В v )=А & 1=А.