8. Выборочное наблюдение.

8.1. В турагентствах города с общим числом сотрудников 1 000 человек было проведено 5 %-ное выборочное обследование возраста сотрудников методом собственно-случайного бесповторного отбора. В результате обследования получены следующие данные:

Возраст, лет	До 30	30 − 40	40 − 50	50 − 60	Свыше 60
Число сотрудников	8	22	10	6	4

Определите: 1) с вероятностью 0,997 пределы, в которых находится средний возраст сотрудников турагентствах города; 2) с вероятностью 0, 683 пределы, в которых находится доля сотрудников в возрасте старше 50 лет; 3) необходимую численность выборки при определении среднего возраста сотрудников турагентствах города, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки не превышала 2,5 года; 4) необходимую численность выборки при определении доли сотрудников в возрасте старше 50 лет в турагентствах города, чтобы с вероятностью 0,683 предельная ошибка не превышала 6 %.

8.2. Для изучения производительности труда на машиностроительном предприятии было проведено выборочное обследование 100 рабочих из 1 000 методом собственно-случайного бесповторного отбора. В результате обследования получены данные о часовой выработке рабочих:

Часовая выработка, шт.	18 − 20	20 − 22	22 − 24	24 − 26	26 − 28	28 − 30
Число рабочих	2	8	24	50	12	4

Определите: 1) с вероятностью 0,997 пределы, в которых находится средняя часовая выработка рабочих предприятия; 2) с вероятностью 0,954 пределы, в которых находится доля рабочих предприятия с часовой выработкой до 20 шт.; 3) необходимую численность выборки при определении средней часовой выработки рабочих предприятия, чтобы с вероятностью 0, 997 предельная ошибка выборки не превышала 1 шт.; 4) необходимую численность выборки при определении доли рабочих предприятия с часовой выработкой до 20 шт., чтобы с вероятностью 0,683 предельная ошибка выборки не превышала 0,5 %.

8.3. В одном из лесничеств методом собственно-случайной повторной выборки обследовано 1 000 деревьев с целью установления их среднего диаметра, который оказался равным 210 мм при = 126,5 мм. С вероятностью 0,683 определите пределы среднего диаметра деревьев в генеральной совокупности.

8.4. Из партии импортируемой продукции на посту таможни было взято в порядке собственно-случайной повторной выборки 20 проб продукта А. В результате проверки установлена средняя влажность продукта А в выборке, которая оказалась равной 6 % при среднем квадратическом отклонении 1 %. С вероятностью 0,683 определите пределы средней влажности продукта во всей партии импортируемой продукции.

8.5. В процессе технического контроля из партии готовой продукции методом собственно-случайного бесповторного отбора было проверено 70 изделий, из которых 4 оказались бракованными. Можно ли с вероятностью 0,954 утверждать, что доля бракованных изделий во всей партии не превышает 7 %, если процент отбора равен 10?

8.6. В выборке объёмом 1 000 единиц доля бракованных изделий составила 2 %. Какова вероятность того, что во всей партии изделий (10 000 единиц) доля брака не превзойдёт 2,5 %.

8.7. Определите, сколько персональных компьютеров следует подвергнуть обследованию в порядке собственно-случайной бесповторной выборки, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка (в процентах к среднему сроку службы компьютера) не превышала 3 %. Коэффициент вариации среднего срока службы компьютеров по данным предыдущих обследований составляет 15 %, а вся партия состоит из 1 250 компьютеров.

8.8. В районе 2 000 семей. С целью определения среднего размера семьи было проведено 3 %-ное выборочное обследование семей методом механического отбора. В результате обследования получены следующие данные:

Размер семьи, чел.	1	2	3	4	5	6	7	8
Число семей	12	14	16	8	4	3	2	1

Определите: 1) с вероятностью 0,997 пределы, в которых находится средний размер семьи в районе; 2) с вероятностью 0,954 долю семей в районе размером 5 и более человек; 3) необходимую численность выборки при определении доли семей в районе размером 5 и более чел., чтобы с вероятностью 0,683 предельная ошибки выборки не превышала 2 %.

8.9. Какой должна быть необходимая численность выборки при механическом отборе, чтобы установить генеральную долю с ошибкой не более 2 %, если дисперсия доли неизвестна, а отбор производится из совокупности, включающей: а) 1 000 единиц; б) 10 000 единиц; в) 100 000 единиц? Вероятность, гарантирующая результаты выборочного наблюдения, равна 0,954.

8.10. С целью определения средней месячной заработной платы персонала гостиниц города было проведено 25 %-ное выборочное обследование с отбором единиц пропорционально численности типических групп. Для отбора сотрудников внутри каждого типа гостиниц использовался механический отбор. Результаты обследования представлены в следующей таблице:

Тип гостиницы	Средняя месячная заработная плата, руб.	Среднее квадратическое отклонение, руб.	Число сотрудников, чел.
1 2 3 4	8 700 10 400 12 600 15 300	40 160 190 215	30 80 140 190

Определите: 1) с вероятностью 0,954 пределы, в которых находится средняя месячная заработная плата всего персонала гостиниц города;

2) объём типической бесповторной выборки, чтобы с вероятностью 0,683 предельная ошибка выборки не превышала 10,0 руб.

8.11. При обследовании бюджетов домашних хозяйств города была организована 10 %-ная типическая пропорциональная выборка. Результаты обследования представлены в следующей таблице:

Группы населения по семейному положению	Объём выборки	Доля расходов на оплату жилья, %
Одинокие Семейные	35 115	9 6

Определите: 1) с вероятностью 0,683 границы доли расходов на оплату жилья населением города; 2) объём типической бесповторной выборки, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки не превышала 2,0 %.

8.12. Для определения доли бракованных деталей во всей партии продукции организована типическая выборка. Методом бесповторного отбора от станка каждого типа взято 10 % деталей из числа обработанных за смену и получены следующие данные:

Тип станка	Число проверенных деталей, шт.	Доля брака, %
1 2 3 4 5	150 200 400 500 250	2, 0 3, 0 1, 5 1, 0 0, 8

Определите: 1) с вероятностью 0, 997 пределы, в которых можно ожидать долю брака во всей партии деталей, обработанных за смену; 2) вероятность того, что доля брака во всей партии деталей будет отличаться от полученной по выборке не более чем на 0,5 %; 3) объём случайной бесповторной типической выборки, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки при определении среднего веса одной детали во всей партии не превышала 1,0 %.

8.13. Для выявления затрат времени на обработку деталей рабочими равной квалификации на предприятии была произведена 10 %-ная типическая выборка с отбором единиц пропорционально численности выделенных групп (внутри типических групп произведен механический отбор). Результаты представлены в таблице:

Группа рабочих по квалификации	Число рабочих в выборке, чел	Средняя затрата времени на обработку одной детали, мин	Среднее квадратическое отклонение, мин
1 2 3 4	60 120 80 40	10 14 20 25	1 4 2 6

Определите: 1) с вероятностью 0,954 пределы, в которых можно ожидать средние затраты времени на обработку деталей рабочими предприятия; 2) вероятность того, что средние затраты времени будут отличаться от полученных по выборке не более, чем на 0,1936 мин; 3) объём бесповторной типической выборки, чтобы с вероятностью 0,683 предельная ошибка при определении средних затрат времени на обработку деталей рабочими предприятия не превышала 0, 2 мин.

8.14. При планировании выборочного обследования занятости мужского населения сельских районов республики имеются следующие данные:

Район	Численность мужчин в трудоспособном возрасте, тыс. чел.	Удельный вес занятых мужчин, % (оценка)
1 2 3 4	3,5 5,6 1,7 2,8	75 80 70 85

С вероятностью 0,954 определите необходимый объём типической пропорциональной выборки для установления границ генеральной доли: а) при повторном отборе; б) при бесповторном отборе в районах, чтобы ошибка выборки не превышала 5 %.

8.15. Выпускаемая акционерным обществом продукция упаковывается в ящики по 100 шт. в каждом. Из 100 ящиков, поступивших на склад готовой продукции, в порядке случайной бесповторной выборки было отобрано пять, все детали которых проверена на вес. Результаты проверки показали, что средний вес деталей в ящиках составил (г):

Номер ящика	1	2	3	4	5
Средний вес детали, г	50	54	46	44	55

Определите: 1) с вероятностью 0,954 пределы, в которых находится средний вес деталей, поступивших на склад готовой продукции акционерного общества; 2) вероятность того, что средний вес деталей будет отличаться от полученного по выборке не более, чем на 5,64 г.; 3) объём бесповторной серийной выборки, чтобы с вероятностью 0,997 предельная ошибка выборки при определении среднего веса деталей не превышала 5,0 г.

8.16. Для обследования всхожести семян они были распределены на 50 равновеликих серий. На основе механического отбора было проверено 10 серий, в которых удельный вес взошедших семян составил 80 %.

Определите: 1) с вероятностью 0,683 границы доли всхожести семян во всей партии, если межсерийная дисперсия равна 8,41; 2) вероятность того, что доля всхожести семян будет отличаться от полученной по выборке не более, чем на 16,4 %; 3) объём бесповторной серийной выборки, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки при установлении границы доли всхожести семян во всей партии не превышала 10 %.

8.17. С целью определения трудоёмкости изготовления деталей на предприятии произведён хронометраж работы 50 рабочих, отобранных в собственно-случайном порядке. По данным обследований получили = 10 мин, при= 1 мин.

Определите: а) как изменится ошибка выборки, если объём выборочной совокупности увеличить в 1,5 раза?; б) как скажется на ошибке выборки увеличение дисперсии в 2 раза?; в) как изменится ошибка выборки, если с увеличением дисперсии в 1,44 раза объём выборочной совокупности увеличить в 2,56 раза?; г) как изменится ошибка выборки, если численность генеральной совокупности будет в 3 раза больше?

8.18. Что произойдёт с величиной предельной ошибки выборки, если вероятность, гарантирующую результат: а) увеличить с 0,954 до 0,997; б) уменьшить с 0,954 до 0,683; в) увеличить с 0,683 до 0,954; г) уменьшить с 0,997 до 0,954; д) увеличить с 0,683 до 0,997?

8.19. Определите, как изменится средняя ошибка случайной выборки, если необходимую численность выборочной совокупности: а) уменьшить в 2,5 раза; на 40 %; б) увеличить в 1,5 раза; на 20 %;. Как нужно изменить необходимую численность выборки, чтобы средняя ошибка уменьшилась: в 2 раза; на 50 %; на 30%?

8.20. В каком соотношении находятся при прочих равных условиях ошибки соответственно случайной бесповторной и повторной выборки при 1 %-ном, 5, 10 и 20 %-ном отборе?

8.21. Определите, в каких случаях предельная ошибка доли признака в генеральной совокупности будет больше (при прочих равных условиях): а) при отборе 50 единиц или 50 серий?; б) при отборе 100 единиц или 25 серий, если общая дисперсия в 3,5 раза больше межгрупповой?; в) при отборе 200 единиц или 50 серий, если общая дисперсия равна 0,25, а эмпирическое корреляционное отношения равно 0,49?

8.22. Организуется выборочное обследование наличия у сельского населения мини-тракторов. Ниже описаны возможные способы отбора. При каком из них ошибка выборки меньше?: а) отбирается каждый пятый населённый пункт, и в каждом из них производится сплошное обследование; б) отбирается каждая пятая семья из общего списка семей; в) совокупность семей расчленяется на группы и пропорционально численности групп производится отбор семей?