Самостоятельная работа № 5.
Используя метод множителей Лагранжа, определите глобальный экстремум функции:
В-1: 
приx+y=1.
В-2: 
при
.
В-3: 
приx+y=6.
В-4: 
приx-y=4.
В-5: Z=x+y
при
В-6: 
приy-2x=5.
В-7: 
при
.
В-8: 
при
В-9: 
при
В-10: 
при
В-11: 
при
В-12: 
при
В-13: 
при
В-14: 
при
В-15: 
при
В-16: 
при
В-17: 
при
В-18: 
при
В-19: 
при
В-20: 
при
Тема 8: Теория игр
Задание 1
Игра заключается
в том, что игрок А записывает числа 1
(стратегия
),
или 2 (
),
или 3 (
).
Игрок В, в свою очередь, может записать
числа 1 (
),
или 2 (
),
или 3 (
),
или 4 (
).
Если оба числа окажутся равной четности,
то А выигрывает сумму этих чисел, если
– разной четности, то В выигрывает сумму
этих чисел. Составить платежную матрицу,
определить верхнюю и нижнюю цену игры
и минимаксные стратегии.
Решение
Согласно условию, платежная матрица игры имеет следующий вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ:
Задание 2
Для следующих платежных матриц определить нижнюю и верхнюю цены игры, минимаксные стратегии и наличие седловых точек. В последнем случае определить оптимальное решение игры.
а)
б)
в)
г)
Решение
а) Платежная матрица:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ:
б) Платежная матрица:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ:
в) Платежная матрица:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ:
г) Платежная матрица:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ:
Задание 3
Рассчитать величину платежа для игр, заданных матрицами
а)
б)
при
и
.
Решение
Задание 4
Привести всевозможные упрощения платежной матрицы в следующих задачах:
а)
б)
Решение
Задание 5
Решить и привести графическую иллюстрацию игр, заданных следующими матрицами:
а)
б)
в)
г)
Решение
а) Изобразим графически решение задачи:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим систему уравнений:
Ответ:
б) Изобразим графически решение задачи:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим систему уравнений:
Ответ:
в) Изобразим графически решение задачи:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим систему уравнений:
Ответ:
г) Изобразим графически решение задачи:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим систему уравнений:
Ответ:
Задание 6
Найти решение следующих игр:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
Решение
а) Изобразим графически решение задачи:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим систему уравнений:
Ответ:
б) Изобразим графически решение задачи:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим систему уравнений:
Ответ:
в) Изобразим графически решение задачи:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим систему уравнений:
Ответ:
г) Изобразим графически решение задачи:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим систему уравнений:
Ответ:
д) Изобразим графически решение задачи:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим систему уравнений:
Ответ:
е) Изобразим графически решение задачи:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим систему уравнений:
Ответ:
ж) Изобразим графически решение задачи:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим систему уравнений:
Ответ:
Задание 7
Найти решение и цену игры, заданную матрицей:
а)
б)
в)
Решение
а) Построим пару двойственных задач:
|
Минимизировать
|
Максимизировать |
Решим симплексным методом:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ:
б) Построим пару двойственных задач:
|
Минимизировать
|
Максимизировать |
Решим симплексным методом:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ:
в) Построим пару двойственных задач:
|
Минимизировать
|
Максимизировать |
Решим симплексным методом:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ:
Задание 2
Построить игру, эквивалентную двойственной паре задач, одна из которых имеет следующий вид:
а)
б)
при
при
в)
б)
при
при
Решение