10.2. Похідні і диференціали функцій декількох змінних

10.2.1. Частинні похідні першого порядку та їх геометричний зміст

Нечай задана функція . Оскількиі– незалежні змінні, то одна з них може змінюватися, а інша зберігати своє значення. Дамо незалежній змінній приріст, зберігаючи значення незмінним. Тоді отримає приріст, який називаєтьсячастинним приростом поі позначається. Отже Аналогічно одержуємо частинний приріст по:

Повний приріст функції визначається рівністю

Якщо існує границя , то вона називається частинною похідною функції в точці по зміннійі позначається одним із символів:

Частинні похідні по в точцізвичайно позначають символами

Аналогічно визначається і позначається частинна похідна від по змінні :

Таким чином, частинна похідна функції декількох (двох, трьох і більше) змінних визначається як похідна функції однієї з цих змінних за умови постійності значень решти незалежних змінних. Тому частинні похідні функції знаходять по формулах і правилах обчислення похідних функції однієї змінної (при цьому відповідно абовважається сталою величиною).

Приклад 1. Знайти частинні похідні функції





Геометричний зміст частинних похідних функції двох змінних

Графіком функції є деяка поверхня(див. п. 12.1). Графіком функції є перетин цієї поверхні з площиною . Виходячи з геометричного змісту похідної для функції однієї змінної (див. п. 20.2), заключаємо, що, де- кут між віссюі дотичною, проведеною до кривої в точці (див. рис. 3). Аналогічно .

Рис.3

10.2.2. Частинні похідні вищих порядків

Частинні похідні и називають частинними похідними першого порядку. Їх можна розглядати як функції від . Ці функції можуть мати частинні похідні, які називаютьсячастинними похідними другого порядку. Вони визначаються і позначаються таким чином:

;

;

;

.

Аналогічно визначаються частинні похідні 3-го, 4-го і т. д. порядків.

Так ,

Частинна похідна другого або більш високого порядку, узята по різних змінних, називається змішаною частинною похідною . Такими є, наприклад

Приклад 2. Знайти частинні похідні другого порядку функції

 Оскільки і , то

. Виявилося, що . 

Цей результат не випадковий. Має місце теорема, яку наведемо без доведення.

Теорема 10.2.1 (Шварца). Якщо частинні похідні вищого порядку неперервні, то змішані похідні одного порядку, відмінні лише порядком диференціювання, рівні між собою. Зокрема, для маємо:

.

10.2.3. Диференційовність і повний диференціал функції.

Нехай функція визначена в деякому околі точки. Складемо повний приріст функції в точці:

Функція називаєтьсядиференційовною в точці ,якщо її повний приріст в цій точці можна представити у вигляді

, (2.1)

де і при

Сума перших двох доданків в рівності (2.1) представляє собою головну частину приросту функції.

Головна частина приросту функції , лінійна відносно і називається повним диференціалом цієї функції і позначається символом :

(2.2)

Вирази и називають частинними диференціалами. Для незалежних змінних івважають і . Тому рівність (2.2) можна переписати у вигляді

(2.3)

Теорема 10.2.2 (необхідна умова диференційовності функції). Якщо функція диференційовна в точці , то вона неперервна в цій точці, має в ній частинні похіднііпричому

Оскільки функція диференційовна в точці , то має місце рівність (2.1). Звідси випливає, що . Це означає, що функція неперервна в точці. Поклавшив рівності (2.1), отримаємо: . Звідси знаходимо . Переходячи до межіпри, отримаємо , тобто . Таким чином, в точці існує частинна похідна. Аналогічно доводиться, що в точцііснує частинна похідна

Рівність (2.1) можна записати у вигляді

(2.4)

де при

Відзначимо, що зворотне твердження хибне, тобто з неперервності функції, або існування частинних похідних не слідує диференційовність функції. Так, неперервна функція не диференційовна в точці

Як наслідок теореми одержуємо формулу для обчислення повного диференціала. Формула (2.3) приймає вигляд:

або , (2.5)

де − частинні диференціали функції .

Теорема 10.2.3 (достатня умова диференційовності функції). Якщо функція має неперервні частинні похідніів точці, то вона диференційовна в цій точці і її повний диференціал виражається формулою (2.5).

Приймемо теорему без доведення. Відзначимо, що для функції однієї змінної існування похідної в точці є необхідною і достатньою умовою її диференційовності в цій точці.

Щоб функція була диференційовна в точці, необхідно, щоб вона мала в ній частинні похідні, і достатньо, щоб вона мала в точці неперервні частинні похідні.

Арифметичні властивості і правила знаходження диференціалів функції однієї змінної зберігаються і для диференціалів функції двох (і більшого числа) змінних.