- •Змістовий модуль 10
- •10.1. Функції двох змінних
- •10.1.1. Основні поняття
- •10.1.2. Границя функції
- •10.1.3. Неперервність функції двох змінних
- •10.1.4. Властивості функцій, неперервних в обмеженій замкненій області
- •10.2. Похідні і диференціали функцій декількох змінних
- •10.2.1. Частинні похідні першого порядку та їх геометричний зміст
- •Геометричний зміст частинних похідних функції двох змінних
- •10.2.2. Частинні похідні вищих порядків
- •10.2.3. Диференційовність і повний диференціал функції.
- •10.2.4. Застосування повного диференціала для наближених обчислень
- •10.2.5. Диференціали вищих порядків
- •10.2.6. Похідна складної функції. Повна похідна
- •10.2.7. Інваріантність форми повного диференціала
- •10.2.8. Диференціювання неявної функції
- •10.3. Дотична площина і нормаль до поверхні
- •10.4. Екстремум функції двох змінних
- •10.4.1. Основні поняття
- •10.4.2. Необхідні і достатні умови екстремуму
- •10.4.3. Найбільше і найменше значення функції в замкнутій області
10.4.3. Найбільше і найменше значення функції в замкнутій області
Нехай функція визначена і неперервна в обмеженій замкнутій області . Тоді вона досягає в деяких точках свого найбільшогоі найменшогозначень (т.3. глобальний екстремум). Ці значення досягаються функцією в точках, розташованих усередині області, або в точках, що лежать на межі області.
Правило знаходження найбільшого і найменшого значень диференційованої в області функціїполягає в наступному:
1. Знайти всі критичні точки функції, що належать і обчислити значення функції в них;
2. Знайти найбільше і найменше значення функції на кінцях області;
3. Порівняти всі знайдені значення функції і вибрати з них найбільше і найменше.
Приклад 2. Знайти щонайбільше і якнайменше значення функції в замкнутій області, обмеженій лініями:
, , , (див. рис. 7).
Тут
1. Знаходимо всі критичні точки:
Рис. 7
Розв’язком системи є точки
Жодна із знайдених точок не належить області.
2. Досліджуємо функцію на межі області, що складається з ділянок (рис. 212).
На ділянці :,, де
, ,. Значення функції ,.
На ділянці :
, , де ,
, . Значення функції ,.
На ділянці :,
; ;. Значення функції
На ділянці : ,
Значення функції
3. Порівнюючи отримані результати, маємо: а