10.2.4. Застосування повного диференціала для наближених обчислень

З означення диференціала функції випливає, що при достатньо малих і має місце наближена рівність

(2.6)

Оскільки повний приріст , рівність (2.6) можна переписати в наступному вигляді:

(2.7)

Формулою (2.7) користуються в наближених розрахунках.

Приклад 3. Обчислити приблизно: .

 Розглянемо функцію . Тоді , де , , . Скористаємося формулою (2.7), заздалегідь знайшовши іОтже, 

Для порівняння: використовуючи мікрокалькулятор, знаходимо:

і 1,061418168.

Відзначимо, що за допомогою повного диференціала можна знайти: межі абсолютної і відносної похибок в наближених обчисленнях; наближене значення повного приросту функції і т. д.

10.2.5. Диференціали вищих порядків

Введемо поняття диференціала вищого порядку. Повний диференціал функції (формула (2.5)) називають також диференціалом першого порядку.

Нехай функція має неперервні частинні похідні другого порядку. Диференціал другого порядку визначається по формулі. Знайдемо його:

Звідси:

Символічно це записується так:

Аналогічно можна отримати формулу для диференціала третього порядку:

де

Методом математичної індукції можна показати, що

_{Відзначимо, що отримані формули справедливі лише у разі, коли змінні і функції є незалежними.}

Приклад 4. (Для самостійної роботи) Знайти , якщо

_{Відповідь:}

10.2.6. Похідна складної функції. Повна похідна

Нехай - функція двох зміннихі, кожна з яких є функцією незалежної змінної:,. В цьому випадку функціяє складною функцією однієї незалежної змінної; змінніі – проміжні змінні.

Теорема 10.2.4. Якщо - диференційовна в точціфункція і

і - функції незалежної змінної , також диференційовні, то похідна складної функціїобчислюється по формулі

(2.8)

Дано незалежній змінній приріст. Тоді функції і отримають прирости івідповідно. Вони, у свою чергу, викличуть прирістфункції.

Оскільки по умові функція диференційовна в точці , то її повний приріст можна представити у вигляді

де при (див. п. 44.3). Розділимо вираз на і перейдемо до границі при . Тоді через неперервність функцій і (по умові теореми вони диференціюються). Одержуємо:

тобто або

Окремий випадок : , де, тобто- складна функція однієї незалежної змінної. Цей випадок зводиться до попереднього, причому роль змінної грає . Згідно формули (2.8) маємо:

або

Формула (2.9) носить назву формули повної похідної.

Загальний випадок: , де,. Тоді – складна функція незалежних зміннихі.

Її частинні похідні і можна знайти, використовуючи формулу (2.8). Таким чином , зафіксувавши , замінюємо в нійвідповідними частинними похідними

Аналогічно одержуємо:

Таким чином, похідна складної функції по кожній незалежній змінній (і) рівна сумі частинних похідних цієї функції по її проміжних змінних (і) на їх похідні по відповідній незалежній змінні (і).

Приклад 5. Знайти і , якщо

 Знайдемо ( – самостійно), використовуючи формулу (2.10):

Спростимо праву частину отриманої рівності:

тобто

