10.1.2. Границя функції

Для функції двох (і більшого числа) змінних вводиться поняття границі функції і неперервності, аналогічно випадку функції однієї змінної. Введемо поняття околу точки. Множина всіх точок площини, координати яких задовольняють нерівності називається – околом точки . Іншими словами, -окіл точки - це всі внутрішні точки круга з центромі радіусом(див. рис. 2).

Рис. 2

Нехай функція визначена в деякому околі точки окрім, можливо, самої цієї точки . Числоназиваєтьсяграницею функції при при (або, що те ж саме, при ), якщо для будь-якогоіснує таке , що для всіх і задовольняють нерівність виконується нерівність. Записують: або

З визначення витікає, що якщо границя існує, то вона не залежить від шляху, по якому прямує до(число таких напрямів нескінченне; для функції однієї змінної по двох напрямах: справа і зліва!)

Геометричний зміст границі функції двох змінних полягає в наступному. Яке б не було число , знайдеться- окіл точки , що у всіх її точках , відмінних відаплікати відповідних точок поверхні відрізняються від числа по модулю менше ніж на .

Приклад 1. Знайти границю .

 Будемо наближатися до по прямій, де– деяке число. Тоді

Функція в точці границі не має, так як при різних значеннях границя функції не однакова (функція має різні граничні значення).

Границя функції двох змінних володіє властивостями, аналогічними властивостям границі функції однієї змінної (див. п. 17.3). Це означає, що справедливі твердження: якщо функції івизначеніна множині і мають в точціцієї множини межіівідповідно, то і функції,, мають в точці границі, які відповідно рівні ,,.

10.1.3. Неперервність функції двох змінних

Функція (або) називаєтьсянеперервною в точці , якщо вона:

а) визначена в цій точці і деякому її околі;

б) має границю _;

в) ця границя рівна значенню функції в точці, тобто

або .

Функція, неперервна в кожній точці деякої області, називається неперервною в цій області. Точки, в яких неперервність порушується (не виконується хоча б одна з умов неперервності функції в точці), називаються точками розриву цієї функції. Точки розриву можуть утворювати цілі лінії розриву. Так, функція має лінію розриву.

Можна дати інше, рівносильне приведеному вище, визначення неперервності функції в точці. Позначимо , , .

Величини і називаються приростами аргументів і , а– повним приростом функції в точці . Функція називаєтьсянеперервною в точці якщо виконується рівність , тобто повний приріст функції в цій точці прямує до нуля, коли прирости її аргументів іпрямують до нуля.

Користуючись визначенням неперервності і теоремами про границі, можна довести, що арифметичні операції над неперервними функціями і побудова складної функції з неперервних функцій приводить до неперервних функцій – подібні теореми мали місце для функцій однієї змінної (див. п. 19.4).

10.1.4. Властивості функцій, неперервних в обмеженій замкненій області

Приведемо властивості функцій, неперервних в обмеженій замкнутій області (вони аналогічні властивостям неперервних на відрізку функцій однієї змінної – див. п. 19.5). Заздалегідь уточнимо поняття області.

Областю називається множина точок площини, що володіють властивостями відкритості і зв'язності.

Властивість відкритості: кожна точка належить їй разом з деяким околом цієї точки.

Властивість зв'язності: будь-які дві точки області можна з'єднати неперервною лінією, що цілком лежить в цій області.

Точка називається межовою точкою області , якщо в будь-якому околі її лежать як точки цієї області так і точки що їй не належать.

Сукупність межових точок області називаєтьсямежею .

Область з приєднаною до неї межею називаєтьсязамкнутою областю.

Область називається обмеженою, якщо всі її точки належать деякому кругу радіуса . Інакше область називаєтьсянеобмеженою. Прикладом необмеженої області може служити множина точок першого координатного кута, а прикладом обмеженої – окіл точки .

Теорема 10.1. Якщо функція неперервна в обмеженій замкнутій області, то вона в цій області:

а) обмежена, тобто існує таке число , що для всіх точокв цій області виконується нерівність;

б) має точки, в яких приймає найменше і найбільшезначення;

в) приймає хоча б в одній точці області будь-яке чисельне значення, розміщене між і.

Теорема дається без доведення.