Тема 9.4. Основні властивості визначеного інтеграла

Розглянемо основні властивості визначеного інтеграла, вважаючи підінтегральну функцію інтегрованою на відрізку . При виведенні властивостей використовуватимемо означення інтеграла і формулу Ньютона-Лейбніца.

1. Якщо — постійне число і функція інтегрована на

то постійний множник можна виносити за знак визначеного інтеграла.

(9.4.1)

Складемо інтегральну суму для функції . Маємо :

.

Тоді . Звідси випливає, що функція інтегрована на і справедлива формула (9.4.1).

2. Якщо функції іінтегровані на, тоді інтегрована наїх сума і

(9.4.2)

тобто інтеграл від суми рівний сумі інтегралів.

.

Властивість (2) розповсюджується на суму будь-якого скінченного числа доданків.

3. . Цю властивість можна прийняти за означенням. Ця властивість також підтверджується формулою Ньютона-Лейбніца.

.

4. Якщо функція інтегрована на і , то

(9.4.3)

тобто інтеграл по всьому відрізку дорівнює сумі інтегралів по частинах цього відрізка. Цю властивість називають аддитивністю визначеного інтеграла (або властивістю аддитивності).

При розбитті відрізка на частини включимо точкув число точок поділу (це можна зробити зважаючи на незалежність границі інтегральної суми та способу розбиття відрізкана частини). Якщо , то інтегральну суму можна розбити на дві суми:

.

Кожна з написаних сум є інтегральною відповідно для відрізків ,,,,. Переходячи до границі в останній рівності при , отримаємо рівність (38.3).

Властивість (4) справедлива при будь-якому розташуванні точок (вважаємо, що функціяінтегрується на більшому з відрізків).

Так, наприклад, якщо , то

.

Звідси

(використані властивості (3) і (4)).

5. «Теорема про середнє». Якщо функція неперервна на відрізку , то існує точка така, що

.

□ По формулі Ньютона-Лейбніца маємо

,

де . Застосовуючи до різниці теорему Лагранжа (теорему про скінчевий приріст функції), отримаємо

.■

Властивість (5) («Теорема про середнє») при має простий геометричний зміст: значення визначеного інтеграла дорівнює, при деякому , площі прямокутника з висотою і основою (див. рис. 170).

(рис.170)

Число називаєтьсясереднім значенням функції на відрізку .

6. Якщо функція зберігає знак на відрізку , де , то інтеграл має той же знак, що і функція. Так, якщо на відрізку , то .

За «теоремою про середнє» (властивість (5))

, де . А оскільки для всіх , то і

.

Тому , тобто .

7. Нерівність між неперервними функціями на відрізку , можна інтегрувати. Так, якщо при , то .

Оскільки , то при , згідно властивості (6), маємо

.

Або, згідно властивості (2)

, тобто .

Відзначимо, що диференціювати нерівності не можна.

8. Оцінка інтеграла. Якщо т і М — відповідно найменше і найбільше значення функції на відрізку,, то

.

Застосовуючи до крайніх інтегралів властивість (5), отримаємо

.

Якщо , та властивість (8) ілюструється геометрично: площа криволінійної трапеції вкладена між площами прямокутників, основою яких є, а висоти рівніі(див. рис.171).

(рис.171)

9. Модуль визначеного інтеграла не перевершує інтеграла від модуля підінтегральної функції:

.

Застосовуючи властивість (7) до очевидних нерівностей , отримаємо .

Звідси слідує, що .

10. Похідна визначеного інтеграла по змінній

верхній межі дорівнює підінтегральній функції, в якій змінна інтегрування замінена цією межею, тобто

.

По формулі Ньютона-Лейбніца маємо: .

Отже,

.

Це означає, що визначений інтеграл із змінною верхньою межею є одна з первісних підінтегральних функцій.