- •Змістовий модуль 9
- •Тема 9.2. Геометричний і фізичний зміст визначеного інтеграла Площа криволінійної трапеції
- •Робота змінної сили
- •Тема 9.3. Формула Ньютона-Лейбніца
- •Розглянемо тотожність
- •Перетворимо кожну різницю в дужках по формулі Лагранжа
- •Отримаємо
- •Тема 9.4. Основні властивості визначеного інтеграла
- •Так, наприклад, якщо , то
- •□ По формулі Ньютона-Лейбніца маємо
- •Тема 9.5.Обчислення визначеного інтеграла
- •9.5.1. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •9.5.2. Інтегрування підстановкою (заміни змінної).
- •Теорема 9.5.1. Якщо:
- •9.5.3. Інтегрування частинами.
- •9.6.2. Інтеграл від розривної функції (невласний інтеграл другого роду)
- •Приклад 9.6.5. Чи збіжний інтеграл
- •Тема 9.7. Геометричні і фізичні застосування визначеного інтеграла
- •9.7.1. Схеми застосування визначеного інтеграла
- •9.7.2. Обчислення площ плоских фігур
- •9.7.3. Обчислення довжини дуги плоскої кривої.
- •Якщо рівняння кривої задано в параметричній формі
- •9.7.4. Обчислення об'єму тіла. Обчислення об'єму тіла за відомими площами паралельних перетинів
- •Об'єм тіла обертання
- •9.7.5. Обчислення площі поверхні обертання.
- •Приклад 9.7.9. Дано циклоїда
- •9.7.6. Механічне застосування визначеного інтеграла. Робота змінної сили
- •Тема 9.8. Наближене обчислення визначеного інтеграла
- •9.8.1. Формула прямокутників.
- •9.8.2. Формула трапецій.
- •9.8.3. Формула парабол (Сімпсона).
9.6.2. Інтеграл від розривної функції (невласний інтеграл другого роду)
Нехай функція неперервна на проміжку і має нескінченний розрив при . Якщо існує скінчена границя , то її називають невласним інтегралом другого роду і позначають .
Таким чином, за означенням
.
Якщо границя в правій частині існує, то невласний інтеграл збіжний. Якщо ж вказана границя не існує або нескінченна, то говорять, що інтеграл розбіжний.
Аналогічно, якщо функція має нескінченний розрив в точці , то вважають .
Якщо функція має розрив у внутрішній точці відрізка , то невласний інтеграл другого роду визначається формулою .
В цьому випадку інтеграл зліва називають тим, що збіжний, якщо обидва невласні інтеграли, що стоять справа, сходяться.
У разі, коли , невласний інтеграл другого роду (розрив в точці ) можна використовувати геометрично як площу нескінченно високої криволінійної трапеції (див. рис. 173).
(рис.173)
Приклад 9.6.4. Обчислити .
○ При функція має нескінченний розрив;
, інтеграл розбіжний. ●
Сформулюємо ознаки для невласних інтегралів другого роду.
Теорема 9.6.3. Нехай на проміжку функції і неперервні при мають нескінченний розрив і задовольняють умову .
Із збіжності інтеграла витікає збіжність інтеграла, а з розбіжності інтегралавитікає розбіжність інтеграла.
Теорема 9.6.4. Нехай функції і неперервні на проміжку і в точці мають розрив. Якщо існує границя , то інтеграли і одночасно сходяться або розходяться.
Приклад 9.6.5. Чи збіжний інтеграл
○ Функція має на єдиний розрив в точці . Розглянемо функцію . Інтеграл розбіжний. І оскільки, то інтегралтакож розбіжний. ●
Тема 9.7. Геометричні і фізичні застосування визначеного інтеграла
9.7.1. Схеми застосування визначеного інтеграла
Нехай вимагається знайти значення якої-небудь геометричної або фізичної величини А (площа фігури, об'єм тіла, тиск рідини на вертикальну пластину і т.д.), пов'язаної з відрізком зміни незалежної змінної. Вважається, що ця величина А адитивна, тобто така, що при розбитті відрізкаточкоюна частиниізначення величини А, відповідає всьому відрізку, рівне сумі її значень, відповіднихі.Для знаходження цієї величини А можна керуватися однією з двох схем: перша схема (або метод інтегральних сум) і друга схема (або метод диференціала).Перша схема базується на означенні визначеного інтеграла.
Точками розбити відрізок на частин. Відповідно до цього величина А, яка цікавить нас, розіб'ється на «елементарних доданків» .
Подати кожний «елементарний доданок» у вигляді добутку деякої функції (визначуваної з умови задачі), обчисленої в довільній точці відповідного відрізка на його довжину: .
При знаходженні наближеного значення допустимі деякі спрощення:
дугу на елементарній ділянці можна замінити хордою, що стягує її кінці; змінну швидкість на елементарній ділянці можна приблизно вважати постійною і т.д.
Отримаємо наближене значення величини А у вигляді інтегральної суми:
.
Шукана величина А дорівнює границі інтегральної суми, тобто
.
Вказаний «метод сум», як бачимо, заснований на поданні інтеграла як суми нескінченно великого числа нескінченно малих доданків.
Перша схема бала застосована для з'ясування геометричного і фізичного змісту визначеного інтеграла.
Друга схема є дещо видозміненою першою схемою і називається «метод диференціала» або «метод відкидання нескінченно малих вищих порядків»:
На відрізку вибираємо довільне значення і розглядаємо
змінний відрізок . На цьому відрізку величина А стає функцією, тобто вважаємо, що частина шуканої величини А є невідомою функцією, де— один з параметрів величини А;
Знаходимо головну частину приросту при зміні на малу
величину , тобто знаходимо диференціалфункції, де, визначена з умови задачі, функція змінної(тут також можливі різні спрощення);
Вважаючи, що , знаходимо шукану величину шляхом
інтегрування в межах від до :
.