- •Змістовий модуль 9
- •Тема 9.2. Геометричний і фізичний зміст визначеного інтеграла Площа криволінійної трапеції
- •Робота змінної сили
- •Тема 9.3. Формула Ньютона-Лейбніца
- •Розглянемо тотожність
- •Перетворимо кожну різницю в дужках по формулі Лагранжа
- •Отримаємо
- •Тема 9.4. Основні властивості визначеного інтеграла
- •Так, наприклад, якщо , то
- •□ По формулі Ньютона-Лейбніца маємо
- •Тема 9.5.Обчислення визначеного інтеграла
- •9.5.1. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •9.5.2. Інтегрування підстановкою (заміни змінної).
- •Теорема 9.5.1. Якщо:
- •9.5.3. Інтегрування частинами.
- •9.6.2. Інтеграл від розривної функції (невласний інтеграл другого роду)
- •Приклад 9.6.5. Чи збіжний інтеграл
- •Тема 9.7. Геометричні і фізичні застосування визначеного інтеграла
- •9.7.1. Схеми застосування визначеного інтеграла
- •9.7.2. Обчислення площ плоских фігур
- •9.7.3. Обчислення довжини дуги плоскої кривої.
- •Якщо рівняння кривої задано в параметричній формі
- •9.7.4. Обчислення об'єму тіла. Обчислення об'єму тіла за відомими площами паралельних перетинів
- •Об'єм тіла обертання
- •9.7.5. Обчислення площі поверхні обертання.
- •Приклад 9.7.9. Дано циклоїда
- •9.7.6. Механічне застосування визначеного інтеграла. Робота змінної сили
- •Тема 9.8. Наближене обчислення визначеного інтеграла
- •9.8.1. Формула прямокутників.
- •9.8.2. Формула трапецій.
- •9.8.3. Формула парабол (Сімпсона).
9.7.3. Обчислення довжини дуги плоскої кривої.
Нехай в прямокутних координатах дана плоска крива , рівняння якої , де .
Під довжиною дуги розуміється границя, до якої прямує довжина ламаної лінії, вписаної в цю дугу, коли число ланок необмежено зростає, а довжина найбільшої ланки прямує до нуля.
Покажемо, що якщо функція її похіднанеперервна на відрізку, то крива, має довжину, рівну
. (9.7.3)
Застосуємо першу схему (метод сум).
(рис.183)
Точками розіб'ємо відрізок на
частин (див. рис. 183). Нехай цим точкам відповідають точки на кривій . Проведемо хорди , довжини яких позначимо відповідно через . Отримаємо ламану , довжина якої рівна .
Довжину хорди (або ланки ламаної) можна знайти за теоремою Піфагора
з трикутника з катетами і :
, де .
По теоремі Лагранжа про скінчений приріст функції , де . Тому
, а довжина всіх ламаних рівна
. (9.7.4)
Довжина кривою, по означенню, дорівнює.
Помітимо, що при також і і, отже, . Функція неперервна на відрізку, оскільки, по умові, неперервна функція. Отже, існує границя інтегральної суми (9.7.4), коли:
.
Таким чином , або в скороченому записі .
Якщо рівняння кривої задано в параметричній формі
,
де і —неперервні функції з неперервними похідними і і , то довжина кривою знаходиться по формулі
. (9.7.5)
Формула (9.7.4) може бути отримана з формули (9.7.1) підстановкою .
Приклад 9.7.4. Знайти довжину кола радіусу .
○ Знайти частину її довжини від точки до точки (див.рис. 184).
(рис.184)
Оскільки , то
.
Значить, . Якщо рівняння кола записати в параметричному вигляді , то .●
Обчислення довжини дуги може бути засновано застосуванням методу диференціала. Покажемо, як можна отримати формулу (9.7.3), застосувавши другу схему (метод диференціала).
Візьмемо довільне значення і розглянемо змінний
відрізок . На ньому величина стає функцією від , тобто .
Знаходимо диференціал функції при зміні на малу величину . Знайдемо , замінюючи нескінченно малу дугу хордою , що стягує цю дугу (див. рис. 185):
(рис.185)
.
Отже, .
Інтегруючи в межах від до , отримаємо .
Рівність називається формулою диференціала дуги в
прямокутних координатах.
Оскільки , то .
Остання формула є теоремою Піфагора для нескінченно рисого трикутника (див. рис. 186).
(рис.186)
Нехай крива задана рівнянням в полярних координатах . Припустимо, що інеперервні на відрізку.
Якщо в рівностях , що зв'язують полярні і декартові
координати, параметром вважати кут , то криву можна задати параметрично
.
Тоді
.
Тому
Застосовуючи формулу (9.7.5), отримаємо .
Приклад 9.7.5. Знайти довжину кардіоїди .
○ Кардіоїда має вигляд, зображений на рис. 187. Вона симетрична відносно полярної осі. Знайдемо половину довжини кардіоїди:
(рис.187)
.
Таким чином . Значить, .●