- •Змістовий модуль 9
- •Тема 9.2. Геометричний і фізичний зміст визначеного інтеграла Площа криволінійної трапеції
- •Робота змінної сили
- •Тема 9.3. Формула Ньютона-Лейбніца
- •Розглянемо тотожність
- •Перетворимо кожну різницю в дужках по формулі Лагранжа
- •Отримаємо
- •Тема 9.4. Основні властивості визначеного інтеграла
- •Так, наприклад, якщо , то
- •□ По формулі Ньютона-Лейбніца маємо
- •Тема 9.5.Обчислення визначеного інтеграла
- •9.5.1. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •9.5.2. Інтегрування підстановкою (заміни змінної).
- •Теорема 9.5.1. Якщо:
- •9.5.3. Інтегрування частинами.
- •9.6.2. Інтеграл від розривної функції (невласний інтеграл другого роду)
- •Приклад 9.6.5. Чи збіжний інтеграл
- •Тема 9.7. Геометричні і фізичні застосування визначеного інтеграла
- •9.7.1. Схеми застосування визначеного інтеграла
- •9.7.2. Обчислення площ плоских фігур
- •9.7.3. Обчислення довжини дуги плоскої кривої.
- •Якщо рівняння кривої задано в параметричній формі
- •9.7.4. Обчислення об'єму тіла. Обчислення об'єму тіла за відомими площами паралельних перетинів
- •Об'єм тіла обертання
- •9.7.5. Обчислення площі поверхні обертання.
- •Приклад 9.7.9. Дано циклоїда
- •9.7.6. Механічне застосування визначеного інтеграла. Робота змінної сили
- •Тема 9.8. Наближене обчислення визначеного інтеграла
- •9.8.1. Формула прямокутників.
- •9.8.2. Формула трапецій.
- •9.8.3. Формула парабол (Сімпсона).
9.7.2. Обчислення площ плоских фігур
Як вже було встановлено (див. «геометричне значення визначеного інтеграла»), площа криволінійної трапеції, розташованої «вище» за вісь абсцис (), дорівнює відповідному визначеному інтегралу:
. (9.7.1)
Формула (9.7.1) отримана шляхом застосування першої схеми—методу сум. Обґрунтуємо формулу (9.7.1), використовуючи другу схему. Нехай криволінійна трапеція обмежена лініями (див. рис..174).
(рис.174)
Для знаходження площі S цієї трапеції виконаємо наступні операції:
Візьмемо довільне і вважатимемо, що.
Дамо аргументу приріст . Функція
отримає приріст , який є площею «елементарної криволінійної трапеції» (на малунку вона виділена).
Диференціал площі це головна частина приросту при , і, очевидно, він дорівнює площі прямокутника з основою і висотою .
Інтегруючи одержану рівність в межах від до , отримаємо .
Відзначимо, що якщо криволінійна трапеція розташована «нижче» осі , то її площа може бути знайдена по формулі
. (9.7.2)
Формули (9.7.1) і (9.7.2) можна об'єднати в одну:
.
(рис.175)
Площа фігури, обмеженої кривими і , прямими і (при умові ) (див. рис. 175), можна знайти по формулі
. (*)
(рис.176)
Якщо плоска фігура має «складну» форму (див. рис. 176), то прямими, паралельними осі , її слід розбити на частини так, щоб можна б було застосувати відомі формули.
Якщо криволінійна трапеція обмежена прямими і , віссю і неперервною кривою (див. рис.177), то її площа знаходиться по формулі .
(рис.177)
І, нарешті, якщо криволінійна трапеція обмежена кривою заданою параметрично
,
прямими , і віссю , то площа її знаходиться по формулі
,
де і визначаються з рівності .
Приклад 9.7.1. Обчислити площу фігури, що обмежена віссю і графіком функції при .
(рис.178)
○ Фігура має вигляд, зображений на рис. 178. Знаходимо її площу :●
Приклад 9.7.2. Обчислити площу фігури, що обмежена еліпсом ,.
○ Знайдемо спочатку площіS. Тут змінюється від 0 до, отже,змінюється віддо 0 (див. рис. 179).
(рис.179)
Знаходимо:
.
Таким чином, . Значить.●
Знайдемо площу S криволінійного сектора, тобто плоскої фігури, обмеженої неперервною лінією і двома променямиі, деі—полярні координати (див. рис. 180). Для розв’язання задачі використовуємо другу схему—метод диференціала.
(рис.180)
Вважатимемо частину шуканої площі S як функцію кута , тобто , де (якщо , то , якщо , то ).
Якщо поточний полярний кут отримає приріст , то й приріст площі дорівнює площі «елементарного криволінійного сектора» .
Диференціал є головною частиною приросту при і дорівнює площі кругового сектора (на рис. вона заштрихована) радіусу з центральним кутом . Тому .
Інтегруючи отриману рівність в межах і , отримаємо шукану
площу
.
Приклад 9.7.3. Знайти площу фігури, що обмежена «трьохпелюстковою трояндою» (див. рис. 181).
(рис.181)
○ Знайдемо спочатку площу половини одного листка «троянди», тобто частини всієї площі фігури:
, тобто . Отже, .●
Якщо плоска фігура має «складну» форму, то промінням, що виходить з полюса, її слід розбити на криволінійні сектори, до яких застосувати одержану формулу для знаходження площі. Так, для фігури, зображеної на рис. 182, маємо:
(рис.182)
.