9.7.4. Обчислення об'єму тіла. Обчислення об'єму тіла за відомими площами паралельних перетинів

Нехай потрібно знайти об'єм тіла, причому відомі площіперетинів цього тіла площинами, перпендикулярними деякій осі, наприклад осі.

Застосуємо другу схему (метод диференціала).

(рис.188)

1. Через довільну точку проведемо площину П, перпендикулярно осі(див. рис. 188). Позначимо черезплощу перетину тіла цією площиною;вважаємо відомою і такою, що неперервно змінюється при зміні. Черезпозначимо об'єм частини тіла, лежить лівіше від площини П будемо вважати, що на відрізкувеличинає функцією від, тобто(().

2. Знаходимо диференціал функції . Він являє собою «елементарний шар» тіла, ув'язнений між паралельними площинами, що перетинають вісь в точках і , який приблизно може бути прийнятий за циліндр з основою і висотою . Тому диференціал об'єму .

3. Знаходимо шукану величину шляхом інтегрування в межах від до :

(9.7.6)

Отримана формула називається формулою об'єму тіла за площею паралельних перетинів.

Приклад 9.7.6 Знайти об'єм еліпсоїда .

○ Перетинаючи еліпсоїд площиною, паралельною площині і на відстанівід неї, отримаємо еліпс (див. рис. 189):

(рис.189)

.

Площа цього еліпса дорівнює . Тому, по формулі (9.7.6), маємо

.●

Об'єм тіла обертання

Нехай навколо осі обертається криволінійна трапеція, обмежена неперервною лінією, відрізкомі прямимиі(див. рис. 190). Отримана фігура обертання називаєтьсятілом обертання. Перетин цього тіла площиною, перпендикулярною осі , проведеною через довільну точкуосі((), є круг з радіусом. Отже, .

(рис.190)

Застосовуючи формулу (41.6) об'єму тіла за площею паралельних перетинів, отримаємо

. (9.7.7)

Якщо криволінійна трапеція обмежена графіком неперервної функції і прямими, то об'єм тіла, утвореного обертанням цієї трапеції навколо осі, по аналогії з формулою (9.7.7), дорівнює

. (9.7.8)

Приклад 9.7.7. Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої лініями навколо осі(див. рис.191).

(рис.191)

○ По формулі (9.7.8) знаходимо:

. ●

9.7.5. Обчислення площі поверхні обертання.

Нехай крива є графіком функції, де, а функціяі її похіднанеперервні на цьому відрізку.

Знайдемо площу поверхні, утвореної обертанням кривої навколо осі .

Застосуємо другу схему (метод диференціала).

(рис.192)

1. Через довільну точкупроведемо площинуП, перпендикулярну осі . Площина П перетинає поверхню обертання по колу з радіусом (див. рис. 192).

Величина поверхні частини фігури обертання, що лежить лівіше площини, є функцією від , тобто .

2. Дамо аргументу приріст . Через точку також

проведемо площину, перпендикулярну осі . Функція отримає приріст, зображений на рис. виді «поясочка».

Знайдемо диференціал площі , замінюючи утворену між перетинами фігуру усіченим конусом, твірна якого рівна, а радіуси основ рівніі. Площа його бічної поверхні рівна. Відкидаючи добутки, як нескінченно малу вищого порядку, ніж, отримаємо, або, оскільки, то.

3. Інтегруючи отриману рівність в межах від до , отримаємо

. (9.7.9)

Якщо крива задана параметричними рівняннями , то формула (9.7.9) для площі поверхні обертання прийме вигляд

.

Приклад 9.7.8. Знайти площа поверхні кулі радіусу .

○ Можна вважати, що поверхня кулі утворена обертанням півкола , навколо осі . По формулі (9.7.9) знаходимо

. ●