Завдання для самостійної роботи

Знайти перші три ненульові члени розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші

1. ,.

2. ,,.

Знайти розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші

3. ,,

4. ,,

Відповіді

1. .

2. .

3. ; .

4. ; .

Розділ 4

РЯДИ ФУР’Є

4.1. Основні формули

Основні формули, за якими будуються розвинення в ряд Фур’є функцій та обчислюються коефіцієнти цих розвинень, наведені у вигляді таблиці.

Період Парність	;	;
Загального вигляду
Парна
Непарна

У процесі обчислення коефіцієнтів Фур’є часто застосовуються деякі відомі математичні формули та факти. Наведемо їх.

Формули перетворення добутків тригонометричних формул в суму

Важливі властивості тригонометричних функцій

Деякі формули інтегрування

4.2.Розвинення в ряди Фур’є 2π-періодичних функцій

Розглянемо деяку 2π-періодичну функцію , неперервну, або таку, що на відрізкумає скінчене число точок розриву першого роду.

Функціональний ряд виду , коефіцієнти якого обчислюються за формулами

,

,

,

називається рядом Фур’є функції . Цей ряд збігається для будь-якого значення, у всіх точках неперервності функції сума ряду, а в точках розриву сума ряду дорівнює півсумі лівосторонньої та правосторонньої границь функції:

.

Якщо 2π-періодична функція f(x) є парною ( ), то вона розкладається в ряд Фур’є тільки за косинусами:

,

де

.

Непарна 2π- періодична функція f(x) розкладається в ряд Фур’є тільки за синусами:

,

де .

Зразки розв’язування задач

Побудувати ряд Фур’є для заданої функції

1. , ;.

,

тобто це функція загального виду, отже, ряд Фур’є цієї функції має вигляд

.

Обчислимо коефіцієнти цього ряду.

;

;

.

Таким чином, ряд Фур’є має вигляд

.

2. ,;

,

тобто функція є парною, а її ряд Фур’є має вигляд

.

Обчислимо коефіцієнти ряду.

;

.

Отже, .

3. Функція задана графічно.

Рис.4.1

Графік даної функції симетричний відносно початку координат, тому функція непарна, періодична с періодом 2π.

Ряд Фур’є має вигляд

де .

Задамо функцію аналітично. Графік функції – пряма, що сполучає точки та.Запишемо рівняння прямої:

.

Тоді

.

Таким чином, ряд Фур’є функції, зображеної на рис.1, виглядає так:

.

Завдання для самостійної роботи

Знайти ряд Фур’є для функцій

1. .

2. .

3. На проміжку функцію задано графічно;.

Рис. 4.2

Відповіді

1. .

2. .

3.

4.3. Ряди Фур’є 2l- періодичних функцій

Якщо f(x) є функцією періоду 2l, її розвинення в ряд Фур’є має вигляд

,

де коефіцієнти обчислюються за формулами

,

,

.

Для парних функцій формули мають вигляд

, , ,

а для непарних –

, .

Зразки розв’язання задач

1. , ;

Функція є періодичною з періодом , отже,.

– функція загального вигляду,

отже, .

Обчислимо коефіцієнти ряду.

;

;

.

Остаточно .

2. ;

Функція є періодичною з періодом , отже,. Очевидно, що функція є ні парною, ні непарною, отже,

.

Обчислимо коефіцієнти ряду.

,

,

,

;

,

,

,

;

,

,

,

.

Таким чином, ряд має вигляд

.

3. , ; .

Функція має період , отже, .

–функція непарна, тобто її ряд Фур’є має вигляд .

Обчислимо коефіцієнти ряду.

.

Отриманий результат справджується для , оскільки застосування відомої формули з таблиці інтегралів можливо лише, якщо .

Окремо обчислимо коефіцієнт :

.

Таким чином, , або .

Отриманий результат є очікуваним, оскільки функція співпадає з однією з функцій системи, за якою будується розвинення.

4. На проміжку періодичну з періодом функцію y=f(x) задано графічно.

Рис.4.3

Період функції 2l=8, отже, півперіод l=4. Графік є симетричним відносно осі , тому функція парна та розкладається в ряд Фур’є за косинусами:

.

Задамо функцію аналітично. Запишемо рівняння прямої, яка проходить через точкита.

Користуючись рівнянням , маємо

.

Таким чином, для .

Якщо , то ; при .

Остаточно .

Обчислимо коефіцієнти Фур’є:

;

.

.

Зауваження. Також цілком коректною є задача побудови ряду Фур’є для функції, яку задано лише на скінченому проміжку . Треба лише зауважити, що застосовувати отримане розвинення можна виключно для значень аргументу із зазначеного проміжку.