Завдання для самостійної роботи

Знайти ряд Фур’є для функцій .

1. .

2.

Відповіді

1. .

2. .

4.4. Ряди Фур’є для функцій, заданих на проміжку

Якщо функцію задано на проміжку, то її визначення можна доповнити для проміжку, та побудувати розвинення отриманої функції в ряд Фур’є.

У випадку, коли функцію продовжено на проміжку парним образом, отримують розвинення заданої нафункції за косинусами:

, ,

де ,

.

Якщо продовження є непарним, отримують розвинення заданої функції за синусами:

, ,

де .

Аналогічно будується розвинення в ряд Фур’є функцій, заданих на проміжку .

Зразки розв’язання задач

1. Побудувати розвинення в ряд Фур’є функції ,

а) за синусами;

б) за косинусами.

а) Функцію задано на проміжку , отже,. Розвинення в ряд Фур’є за синусами має вид

.

Обчислимо коефіцієнти цього ряду.

.

Остаточно , .

б) Розвинення функції в ряд Фур’є за косинусами має вид

.

Обчислимо коефіцієнти ряду.

;

.

Таким чином,

, .

2. Побудувати ряди Фур’є за синусами та за косинусами функції, заданої графічно.

Рис.4.4

Задамо функцію аналітично. Очевидно, що, якщо , то, а для, отже,

.

Функцію задано на проміжку , тобто.

а) Розвинення в ряд за синусами має вид

.

Обчислимо коефіцієнти цього ряду.

.

Тоді , .

б) Побудуємо ряд за косинусами:

.

.

.

Отже,

, .

Завдання для самостійної роботи

Побудувати розвинення в ряди Фур’є за синусами та за косинусами функцій:

1. ,.

2. .

3.

Рис.4.5

Відповіді

1. а) ;

б) .

2. а) ;

б) .

3. а) ;

б) .

Література

1. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. – К.: А.С.К., 2006. – 648 с.

2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.

В 3-х т. Т. 2: М: – ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 810 с.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для втузов. В 2-х т.: Т. 2: – М: – Интеграл-Пресс, 2004. – 544 с.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч. 2: – М.: Оникс, 2006. – 416 с.

5. Сборник задач по высшей математике. 2 курс / К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный и др. – М.: АЙРИС-пресс, 2009. – 592 с.

З м і с т

Вступ……………………………………………………………………………….3

Розділ 1

Числові ряди

1.1. Знакододатні ряди…………………………………………………………….4

1.2. Знакозмінні ряди…………………………………………………………….19

Розділ 2

Степеневі ряди

2.1. Збіжність степеневих рядів…….……………………………………………23

2.2. Розвинення функцій в степеневі ряди……………………………………...32

Розділ 3

Застосування рядів

3.1. Наближене обчислення значень функцій та визначених

інтегралів…………………………………………………………………......50

3.2. Інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою

степеневих рядів……………………………………………………………..60

Розділ 4

Ряди Фур’є

4.1. Основні формули…………………………………………………………….66

4.2. Розвинення в ряди Фур’є 2π-періодичних функцій…………..…………...68

4.3. Ряди Фур’є 2l-періодичних функцій…………………………..…………..74

4.4. Ряди Фур’є для функцій, заданих на проміжку ……………..…….81

ЛІТЕРАТУРА……………………………………………………………………..86

Навчальне видання

Кадильникова Тетяна Михайлівна

Кагадій Лариса Петрівна

Кочеткова Інна Борисівна

Сушко Лариса Федорівна

Запорожченко Олена Євгенівна

Вища математика в прикладах

та задачах.

Частина V

Навчальний посібник

Тематичний план 2011, поз.

Підписано до друку . Формат 60х84 1/16. Папір друк. Друк плоский.

Облік.-вид. арк. . Умов. друк. арк. . Тираж 100 пр. Замовлення №

Національна металургійна академія України