Завдання для самостійної роботи

З’ясувати за допомогою означення, чи буде збіжним числовий ряд, та за умови позитивної відповіді знайти суму ряду.

1. 2.3.

З’ясувати за допомогою ознак збіжності, чи буде збіжним числовий ряд.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17.

18. 19. 20.

21. 22. 23.

24. 25. 26.

27. 28.

29. 30. 31.

32. 33.

34.

Відповіді.

1. Розбігається. 2. Збігається , .3. Збігається , .4. За необхідною умовою розбігається . 5. За необхідною умовою розбігається . 6. За необхідною умовою розбігається . 7. За необхідною умовою розбігається . 8. За необхідною умовою розбігається . 9. За необхідною умовою розбігається . 10. За граничною ознакою порівняння розбігається. 11. За граничною ознакою порівняння збігається. 12. За граничною ознакою порівняння розбігається. 13. За граничною ознакою порівняння збігається. 14. За ознакою порівняння розбігається. 15. За ознакою порівняння збігається. 16. За граничною ознакою порівняння розбігається. 17. За граничною ознакою порівняння збігається. 18. За інтегральною ознакою Коші ряд розбігається. 19. За інтегральною ознакою Коші ряд збігається. 20. За інтегральною ознакою Коші ряд збігається. 21. За ознакою Даламбера ряд розбігається. 22. За ознакою Даламбера ряд збігається. 23. За ознакою Даламбера ряд збігається. 24. За ознакою Даламбера ряд збігається. 25. За ознакою Даламбера ряд збігається. 26. За ознакою Даламбера ряд розбігається. 27. За ознакою Даламбера ряд збігається. 28. За радикальною ознакою Коші ряд збігається. 29. За радикальною ознакою Коші ряд збігається. 30. За радикальною ознакою Коші ряд розбігається. 31. За радикальною ознакою Коші ряд збігається. 32. За радикальною ознакою Коші ряд збігається. 33. За радикальною ознакою Коші ряд збігається. 34. За радикальною ознакою Коші ряд розбігається.

1.2. Знакозмінні ряди

Якщо серед членів ряду є як додатні, так і від’ємні, такий ряд називається знакозмінним.

Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним , якщо збігається ряд, складений з абсолютних величин його членів.

Якщо ряд є збіжним, а ряд з абсолютних величин розбігається, то такий знакозмінний ряд називається умовно збіжним .

Ряд, члени якого по черзі є додатними та від’ємними, називається рядом з чергуванням знаків ( або рядом Лейбніца ).Такий ряд доцільно записувати у вигляді .

Теорема Лейбніца.

Якщо виконуються такі умови:

1) ; та

2) послідовність ,, ……є монотонно спадною,

то ряд збігається.

Зауваження. Теорема Лейбніца надає достатню умову збіжності рядів з чергуванням знаків, отже, у випадку не монотонно спадної, але нескінченно малої послідовності робити висновок про розбіжність ряду неприпустимо.