- •Міністерство освіти і науки, молоді та спорту україни
- •Розділ 1
- •Зразки розв’язання задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •1.2. Знакозмінні ряди
- •Зразки розв’язування задач
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •Відповіді.
- •2.2. Розвинення функцій у степеневі ряди
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •Завдання для самостійної роботи
- •4.2.Розвинення в ряди Фур’є 2π-періодичних функцій
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •Відповіді
- •4.3. Ряди Фур’є 2l- періодичних функцій
- •Зразки розв’язання задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •Відповіді
- •4.4. Ряди Фур’є для функцій, заданих на проміжку
- •Зразки розв’язання задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •Відповіді
- •Література
- •З м і с т
- •49600, М. Дніпропетровськ-5, пр. Гагаріна, 4
Завдання для самостійної роботи
Записати значення функції у вигляді збіжного числового ряду
1. 2.3.
4. 5.6.
7. 8.9.
Обчислити значення функції з заданою точністю
10. , . 11. , .
12. , (скористатися тим, що).
Обчислити визначений інтеграл з заданою точністю
13. , 14. , .
Відповіді.
1. 2.3.4.
5. 6.
7. 8.
9.
10. 0,607 11. 8,246 12. 0,81 13. 0,157 14. 0,24951
3.2. Інтегрування диференціальних рівнянь
за допомогою степеневих рядів
Для наближеного інтегрування диференціальних рівнянь розв’язок відповідної задачі Коші розшукують у вигляді розвинення в степеневий ряд в околі початкової точки , тобто будують ряд Тейлора або Маклорена, коефіцієнти якого обчислюють шляхом диференціювання.
Якщо диференціальне рівняння є лінійним, застосовується також метод невизначених коефіцієнтів, який дозволяє побудувати низку рекурентних формул, а іноді навіть знайти правило для обчислення будь-якого коефіцієнта ряду.
Зразки розв’язування задач
1. Знайти перші три ненульові члени розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші
,.
Запишемо шукане розвинення у степеневий ряд в околі початкової точки , тобто ряд Маклорена для функції:
.
Обчислимо за допомогою диференціального рівняння значення декількох похідних шуканої функції.
;
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
.
Тоді ,
.
2. Знайти перші три ненульові члени розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші
,.
Запишемо шукане розвинення у степеневий ряд в околі початкової точки , тобто ряд Тейлора для функції:
.
Обчислимо за допомогою диференціального рівняння значення декількох похідних шуканої функції.
;
;
,
;
,
.
Тоді ,
.
3. Знайти перші три ненульові члени розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші
,,.
Запишемо шукане розвинення у степеневий ряд в околі початкової точки , тобто ряд Маклорена для функції:
.
Обчислимо за допомогою диференціального рівняння значення декількох похідних шуканої функції.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Тоді ,
.
4. Знайти розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші
,,.
Запишемо шукане розвинення у вигляді ряду з невизначеними коефіцієнтами, знайдемо його похідні та підставимо ці ряди у диференціальне рівняння та початкові умови ( права частина рівняння також повинна бути записаною у вигляді ряду).
,
,
,
.
;
;
,
.
Порівняємо коефіцієнти при однакових степенях змінної та отримаємо рекурентну послідовність рівностей:
;
;
, ;
, ;
, ;
, ;
, ;
Можна довести, що коефіцієнти ряду задаються залежностями
,.
Тоді шуканий ряд має вигляд
.
Легко помітити, що отриманий розв’язок може бути записаний у вигляді
, де.
5. Знайти розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші
,,.
Запишемо шукане розвинення, знайдемо його похідні та підставимо отримані ряди у диференціальне рівняння та початкові умови.
,
,
.
;
;
,
.
Отримаємо рекурентну послідовність рівностей
;
;
, ;
, ;
, ;
, ;
, ;
Можна довести, що коефіцієнти ряду задаються залежностями
,.
Тоді шуканий ряд має вигляд
.
Легко помітити, що отриманий розв’язок може бути записаний у вигляді
.