- •Міністерство освіти і науки, молоді та спорту україни
- •Розділ 1
- •Зразки розв’язання задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •1.2. Знакозмінні ряди
- •Зразки розв’язування задач
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •Відповіді.
- •2.2. Розвинення функцій у степеневі ряди
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •Завдання для самостійної роботи
- •4.2.Розвинення в ряди Фур’є 2π-періодичних функцій
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •Відповіді
- •4.3. Ряди Фур’є 2l- періодичних функцій
- •Зразки розв’язання задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •Відповіді
- •4.4. Ряди Фур’є для функцій, заданих на проміжку
- •Зразки розв’язання задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •Відповіді
- •Література
- •З м і с т
- •49600, М. Дніпропетровськ-5, пр. Гагаріна, 4
Зразки розв’язування задач
1. З’ясувати, чи буде степеневий ряд збігатися у точці.
.
Це знакододатний числовий ряд, який буде збіжним ().
Знайти інтервал збіжності ряду:
2.
Для даного ряду ;.
.
Інтервал збіжності ряду .
3.
Для даного ряду ,,.
.
Інтервал збіжності ряду , або.
4.
Для даного ряду ,,.
.
Таким чином, ряд буде збіжним, якщо .
5.
Для даного ряду ,,.
Таким чином, ряд буде збіжним, якщо .
6.
Це ряд з пропуском степенів, тому скористаємося ознакою Даламбера:
, ;
.
Нерівність справджується, якщо
.
Таким чином, інтервалом збіжності ряду буде .
7.
Це ряд з пропуском степенів, тому скористаємося ознакою Коші:
;
.
Нерівність справджується для будь-якого значення, отже, ряд буде збіжним для.
8.
Це ряд з пропуском степенів, тому скористаємося ознакою Даламбера:
,;
.
Нерівність справджується, лише якщо, отже, ряд буде збіжним тільки для.
Знайти область збіжності степеневого ряду.
9.
Для заданого ряду ,.
.
Інтервал збіжності ряду задається умовою . Дослідимо поведінку ряду на границях цього інтервалу.
:.
Узагальнений гармонічний ряд є розбіжним, отже, степеневий ряд прирозбігається.
:.
Це ряд Лейбніца . Перевіримо, чи виконуються умови відповідної теореми.
1) ;
2) ,,, …
,.
За теоремою Лейбніца ряд є збіжним, тобто при степеневий ряд збігається.
Таким чином, областю збіжності досліджуваного ряду є .
10.
Якщо необхідно дослідити поведінку ряду за степенями на границях інтервалу збіжності, доцільно ввести допоміжну зміннута розшукувати область збіжності отриманого ряду за новою змінною.
;.
Це ряд з пропуском степенів, тому скористаємося ознакою Даламбера:
, ;
.
Нерівність справджується, якщо
.
Дослідимо поведінку ряду на границях інтервалу збіжності.
,.
Гармонічний ряд є розбіжним, отже , степеневий рядрозбігається при.
,.
Гармонічний ряд є розбіжним, отже , степеневий рядрозбігається при.
Таким чином, область збіжності ряду задається умовою
, або,.
11.
Введемо нову змінну та знайдемо область збіжності отриманого ряду.
Для цього ряду ,.
.
Інтервалом збіжності допоміжного ряду буде . Дослідимо поведінку ряду на границях інтервалу.
,.
Це ряд Лейбніца . Перевіримо, чи виконуються умови відповідної теореми.
1) ;
2) ,,, …
,.
За теоремою Лейбніца ряд є збіжним, тобто при степеневий ряд збігається.
,.
Узагальнений гармонічний ряд є розбіжним, отже, степеневий ряд прирозбігається.
Таким чином, область збіжності допоміжного ряду відповідає умові .
Тоді область збіжності основного ряду задається нерівністю
;.
Отже, область збіжності заданого ряду – це проміжок .
Завдання для самостійної роботи
1. З’ясувати, чи буде степеневий ряд збігатися у точці.
Знайти інтервал збіжності ряду:
2. ;3. ;4. ;
5 ;6. .
Знайти область збіжності ряду:
7. ;8. ;9. ;
10. ;11. ;12. ;
13. ;14. ;15. ;
16. ;17. ;18. ;
19 ;20. .