12.211 ,,,.

	Y
X	1	2	4
1	0.05	0.1	0.25
2	0.15	0.2	0.25

12.212 ,,,.

	Y
X	0	2	3
1	0.12	0.18	0.3
5	0.08	0.12	0.2

12.213 ,,,.

	Y
X	0	1	5
2	0.06	0.34	0.03
4	0.14	0.36	0.07

12.214 ,,,.

	Y
X	0	2	3
1	0.06	0.09	0.15
4	0.08	0.12	0.2
6	0.06	0.09	0.15

12.215 Бросается одна игральная кость. Требуется:а)составить закон распределения двумерной случайной величины, где случайные величиныиопределяются следующим образом: если при подбрасывании игральной кости выпадает чётное число очков, то, в противном случаеи, когда число очков кратно трём, в противном случае;б) выяснить являются ли величины,зависимыми и вычислить коэффициент корреляции.

12.216 Бросаются две игральные кости. Требуется:а)составить закон распределения двумерной случайной величины, где случайные величиныиопределяются следующим образом: если сумма очков на игральных костях чётная, то, в противном случаеи, если произведение очков на игральных костях – чётное число, в противном случае;б) выяснить являются ли величины,зависимыми и вычислить их ковариацию.

12.217 Числовыбирается случайным образом из множества целых чисел:. Затем из того же множества выбирается наудачу число, больше первого или равное ему. Составить закон распределения двумерной случайной величиныи найти.

12.218 Пустьи-произвольные случайные величины. Доказать, что:

а),

б) ,где.

12.219 Случайные величиныиимеют математические ожидания,, дисперсии,и ковариацию. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

12.220 Найти математические ожидания,, дисперсии,и ковариациюслучайных величини, если,, а случайные величиныиимеют следующие числовые характеристики:,,,,.

8.2 Непрерывные двумерные случайные величины.

Случайный вектор называется(абсолютно) непрерывным, если его функция распределения представляется в виде ,,, где-неотрицательная и интегрируемая в бесконечных пределах функция, называемаяфункцией плотности вероятностей (совместной). Функция распределениянепрерывного случайного вектораявляется непрерывной функцией на всей числовой плоскости.

Функция является плотностью вероятностей некоторого непрерывного случайного вектора, тогда и только тогда, когда:

1); 2) .

В точках непрерывности функции :.

Для непрерывного случайного вектора с плотностью вероятностейвероятность любого события вида,вычисляется по формуле:.

Частные плотности вероятностей компонент находятся интегрированием совместной плотности: ,.

Непрерывные случайные величиныинезависимы тогда и только тогда, когда ,. В противном случае они зависимы.

Числовые характеристики ,вычисляют по формулам:,

Вероятность события , где-постоянная величина, находится по формуле, где интегрирование распространяется на все значения переменных,для которых.

В задачах 12.221-12.222 двумерная непрерывная случайная величиназадана совместной функцией распределения. Требуется:а)найти функции распределения составляющих случайных величин,и выяснить являются они зависимыми или нет;б) найти совместную функцию плотности вероятностей;в) вычислить вероятностьдля указанной области.

12.221

- прямоугольник,.

12.222

- квадрат,.

В задачах 12.223-12.224 двумерная случайная величиназадана совместной функцией плотности вероятностей.Требуется:

а)найти неизвестную постоянную;б)найти функции плотности вероятностей составляющих случайных величин,и выяснить являются они зависимыми или нет;в) вычислить,, а также вероятностьдля указанного значения постоянной.

12.223 .

12.224 .

12.225 Двумерная случайная величинаравномерно распределена в указанной области. Найти: совместную функцию плотности вероятностей; функции плотности вероятностей составляющих случайных величин,и выяснить являются они зависимыми или нет; центр рассеивания, если:а);

б);в).

§9 Функции случайных величин.

Пусть - случайная величина, заданная на вероятностном пространстве,A,) и- числовая функция, область определения которой включает в себя множество возможных значений. Случайную величину, которая каждомуставит в соответствие числоназываютфункцией от скалярной случайной величины и пишут.

Функция от дискретной случайной величинытакже является дискретной. Еслизадана рядом распределения,, то рядом распределения случайной величиныявляется ряд:,,, где-различные числа среди чисел,( суммирование распространяется на все значения индексадля которых).

Функция от непрерывной случайной величиныможет быть как непрерывной, так и дискретной случайной величиной.

Если задана плотностью вероятностейиявляется монотонной (возрастающей или убывающей) дифференцируемой функцией, то плотность вероятностей случайной величиныопределяется формулой:, где- функция, обратная к функции. Еслиявляется дифференцируемой кусочно-монотонной (имеющейинтервалов монотонности) функцией, то плотность вероятностей случайной величиныопределяется формулой, где- функция, обратная к функциина-ом интервале её монотонности (возрастания или убывания).

Для вычисления числовых характеристик неслучайной функции от случайной величины можно не знать закон распределения зависящей отслучайной величины, а достаточно знать закон распределения случайного аргумента. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, если они существуют, могут быть найдены по формулам:

1),, если дискретная случайная величиназадана рядом распределения,, где;2) ,, если непрерывная случайная величиназадана плотностью вероятностей.

Пусть - случайная вектор, заданный на вероятностном пространстве,A,) и- числовая функция, область определения которой включает в себя множество возможных значений. Случайную величину, которая каждомуставит в соответствие числоназываютфункцией от случайного вектора и пишут.

Функция от дискретного случайного векторатакже является дискретной. Еслизадан таблицей распределения,,, где, то рядом распределения случайной величиныявляется ряд:,, где- различные числа среди чисел,,,(суммирование распространяется на все значения индексовидля которых).

Для вычисления числовых характеристик неслучайной функции от случайного вектора достаточно знать закон распределения случайного аргумента. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, если они существуют, могут быть найдены по формулам:

1) ,, если дискретный случайный векторзадан таблицей распределения,,, где;

2) ,, если непрерывный случайный векторзадан совместной плотностью вероятностей.

12.226 Дискретная случайная величиназадана рядом распределения. Найти распределение случайной величиныи вычислить, если:

а) ; б); в); г).

12.227 Распределение двумерной дискретной случайной величинызадаётся таблицей распределения вероятностей:

	Y
X		0	1
	0.07	0.1	0.13
1	0.2	0.23	0.27

Найти ряд распределения вероятностей случайной величины и вычислить, если:

а); б).

12.228 Непрерывная случайная величина, возможные значения которой заключены в интервале, задана функцией плотности вероятностей. Найти функцию плотности вероятностейслучайной величины, если:

а) ; б); в); г).

12.229 Непрерывная случайная величинаравномерно распределена в интервале. Найти функцию плотности вероятностейслучайной величины, если:

а) ; б); в).

12.230 Непрерывная случайная величинаимеет нормальный закон распределения~. Доказать, что линейная функция также имеет нормальный закон распределения, причём,.

12.231 Случайная величиназадана функцией плотности вероятностей. Найти математическое ожидание функции, если:

а) б).

12.232 Рассматривая диаметр кругакак случайную величину, распределённую равномерно в интервале, найти математическое ожидание площади круга.

12.233 Рассматривая ребро куба как случайную величину, распределённую равномерно в интервале, найти математическое ожидание объёма куба.

12.234 Непрерывная случайная величинаимеет показательное распределение с параметром. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

12.235 Случайные величиныинезависимы и распределены равномерно:- в интервале,- в интервале. Найтии.