5.2 Приближённые формулы Пуассона и Муавра-Лапласа.

При больших значениях вычисления по формуле Бернулли сопряжены со значительными трудностями вычислительного характера. В таких случаях широко используются приближённые формулы.

Если число испытаний велико, а вероятность «успеха»мала () и при этом, то используетсяприближённая формула Пуассона:

.

Если число испытаний велико, причём велики также вероятности «успеха»и «неудачи»(), то используются:

1) приближённая локальная формула Муавра-Лапласа:

, где ,

2) приближённая интегральная формула Муавра-Лапласа:

,

где ,,

Таблицы значений функций иприведены в приложениях 6.1 и 6.2. При нахождении их значений для отрицательных значений аргументов следует иметь в виду, что- чётная функция, а- нечётная.

12.117 Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времениравна 0.002. Найти вероятность того, что за времяоткажут ровно три элемента (Указание: принять ).

12.118 Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0.01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно четыре бракованных (Указание: принять ).

12.119 Вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0.02. Свёрла укладывают в коробки по 100 штук. Найти вероятность того, что число бракованных свёрл в коробке окажется не более двух (Указание: принять ).

12.120 По каналу связи передаётся 100 знаков. Каждый знак может быть искажён независимо от остальных с вероятностью 0.05. Найти вероятность того, что будет искажено не более трёх знаков (Указание: принять ).

12.121 Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0.002. Найти вероятности того, что в пути будет повреждено изделий:а)ровно 3;б)менее трёх;в) более трёх;г)хотя бы одно (Указание: принять ).

12.122 Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0.003. Найти вероятности того, что магазин получит разбитых бутылок:

а)ровно две;б)менее двух;в)более двух;г)хотя бы одну (Указание: принять ).

12.123 Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0.8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.

12.124 Вероятность рождения мальчика равна 0.51. Найти вероятность, что среди 100 новорождённых окажется 50 мальчиков.

12.125 К магистральному водопроводу подключены 100 предприятий, каждое из которых с вероятностью 0.8 в данный момент времени осуществляет забор воды. Найти вероятности того, что в данный момент забор воды производят:а)не менее 75 и не более 90 предприятий;

б)не более 90 предприятий.

12.126 Игральная кость бросается 600 раз. Найти вероятности того, что «шестёрка» выпадет:а)от 90 до 120 раз;б)не менее 120 раз.

12.127 Вероятность появления «герба» в каждом из 900 подбрасываний монеты равна 0.5. Найти вероятность того, что относительная частота появления «герба» отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0.02.

12.128 Французский учёный Бюффон (XVIIIв.) подбросил монету 4040 раз, причём «герб» появился 2048 раз. Найти вероятность того, что при повторении опыта Бюффона относительная частота появления «герба» отклонится от вероятности появления «герба» по абсолютной величине не более чем в опыте Бюффона.

12.129 В урне содержатся белые и чёрные шары в отношении 4:1. После извлечения шара, регистрируется его цвет, и шар возвращается в урну. Чему равно наименьшее число извлечений, при котором с вероятностью 0.95 можно ожидать, что абсолютная величина отклонения относительной частоты появления белого шара от его вероятности будет не более чем 0.01?

12.130 ОТК проверяет 475 изделий на брак. Вероятность того, что изделие бракованное, равна 0.05. Найти с вероятностью 0.95 границы, в которых будет заключено числобракованных изделий среди проверенных.