§8 Многомерные случайные величины.

8.1 Дискретные двумерные случайные величины.

Совокупность случайных величин , заданных на одном и том же вероятностном пространстве,A,), называютмногомерной (-мерной) случайной величиной (случайным вектором ). Ограничимся рассмотрением двумерных случайных величин,.

Функцией распределения случайного вектора называется функциядействительных переменныхи,, определяемая формулой.

Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник,вычисляется по формуле:

,).

Зная функцию распределения (совместную) вектора , можно найти функцию распределения (частную) каждой компоненты:

, .

Случайные величины иназываютсянезависимыми, если для всех :. В противном случае случайные величины называютзависимыми.

Случайный вектор называетсядискретным случайным вектором, если каждая из его компонент является дискретной случайной величиной. Ограничимся рассмотрением дискретных случайных величин ис конечным множеством возможных значенийи.

Функция распределения дискретного случайного векторазадаётся формулой, где,,и суммирование распространяется на все значения индексовидля которыхи.

Закон распределения дискретного случайного вектора удобно задаватьтаблицей распределения (вероятностей), в которой перечислены все возможные пары значений ),,компонент вектора и соответствующие им вероятности, причём.

Частные законы распределения ,и,компоненти, где,, можно найти, производя в таблице суммированияв каждой строке по столбцам и в каждом столбце по строкам.

Дискретные случайные величиныинезависимы тогда и только тогда, когда ,,,. В противном случае они зависимы.

Ковариацией (корреляционным моментом) случайных величин иназывают число. Очевидно, что. Более удобной для вычисленияявляется формула. Для независимых случайных величини:(необходимое условие независимости). Если , то случайные величиныиназываютнекоррелированными.

Коэффициентом корреляции случайных величин иназывают число

, где ,.

Коэффициент корреляции обладает свойствами: 1);2)тогда и только тогда, когдаисвязаны линейной зависимостью,;3) если инезависимы, то(необходимое условие независимости).

Условные законы распределения компоненты при,(индекссохраняет одно и тоже значение при всех возможных значениях) задают рядами распределения, указывая все возможные значенияи соответствующие им условные вероятности:,. Аналогично задают условные законы распределения компонентыпри,:,. Условные вероятности компонентивычисляют соответственно по формулам:

, .

Числовые характеристики ,,,,, вычисляют по формулам:,,,

, .

Условные математические ожидания дискретных случайных величин ипри условияхиопределяются соответственно формулами:

, .

Вероятность события , где- постоянная величина, вычисляется по формуле, где суммирование распространяется на все значения индексовидля которых.

В задачах 12.211-12.214 закон распределения двумерной случайной величинызадан таблицей распределения вероятностей.

Требуется: а)найти законы распределения составляющих случайных величин,и выяснить являются они зависимыми или нет;

б)вычислить, а также вероятностьдля указанныхи;

в)найти условные законы распределения составляющихипри условии, что другая составляющая принимает указанные значенияи, а также вычислить,.