§6 Одномерные случайные величины.

6.1 Дискретные случайные величины: законы распределения и числовые характеристики.

Случайной величиной называется действительная функция, определённая на пространстве элементарных исходови такая, что при всех действительныхсобытияпринадлежат-алгебре событий для данного эксперимента. Таким образом, под случайной величиной понимают величину, принимающую свои возможные значения в зависимости от исхода эксперимента, с которым она связана.

Законом распределения (вероятностей) случайной величины называют любое правило, позволяющее найти вероятность того, что случайная величина примет значение из некоторого подмножества своих возможных значений. Общим законом распределения, присущим всем случайным величинам, является функция распределения.

Функцией распределения (вероятностей) случайной величины называется функциядействительной переменной,, определяемая формулой.

Каждая функция распределения обладает следующими свойствами:

1) ,;2)не убывает;

3),;4)непрерывна слева.

Любая неубывающая непрерывная слева действительная функция , удовлетворяющая условиями, является функцией распределения некоторой случайной величины.

Вероятность события определяется формулой:

.

Случайная величина называетсядискретной случайной величиной (ДСВ), если множество её возможных значений конечно или счётно, причём,, где суммирование распространяется на все возможные значения. Функция распределения в этом случае имеет ступенчатый вид и задаётся формулой, где суммирование распространяется на все значения индекса, для которых.

Закон распределения ДСВ удобно задавать рядом распределения. Рядом распределения ДСВ называют таблицу, в которой перечислены все возможные значения этой случайной величины и соответствующие им вероятности. Для наглядности закон распределения ДСВ изображают графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точкии соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называютмногоугольником распределения.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число, если ряд сходится абсолютно.

Дисперсией случайной величины называется неотрицательное число. Числоназываетсясредним квадратичным отклонением.

Дисперсию дискретной случайной величины вычисляют по формулам:

или .

Пусть -постоянная величина. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины обладают следующими свойствами:

Свойства математического ожидания: 1) ;2) ;3);4), еслиинезависимы.

Свойства дисперсии: 1) ;2);3) ;4);5), еслиинезависимы.

В задачах 12.131-12.136 требуется:а)составить закон распределения дискретной случайной величиныи построить многоугольник полученного распределения;б)вычислить математическое ожиданиеи дисперсию.

12.131 Устройство состоит из трёх независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0.1. Случайная величина- число отказавших элементов в одном опыте.

12.132 В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Случайная величина- число стандартных деталей среди отобранных.

12.133 В урне 6 белых и 4 чёрных шара. Из неё три раза подряд извлекают шар, причём каждый раз вынутый шар возвращают в урну и шары перемешивают. Случайная величина- число извлечённых белых шаров.

12.134 Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка – 0.8, для второго – 0.9. Случайная величина- суммарное число попаданий в мишень.

12.135 Стрелок ведёт стрельбу по цели с вероятностью попадания при каждом выстреле 0.8. За каждое попадание он получает 5 очков, а в случае промаха очков ему не начисляют. Произведено три выстрела. Случайная величина- число очков, полученных стрелком.

12.136 Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что станок в течение временипотребует внимания рабочего, для первого станка равна 0.1, для второго – 0.2, для третьего – 0.3. Случайная величина- число станков, не требующих внимания рабочего в течение времени.

12.137 Дискретная случайная величиназадана рядом распределения. Найти значение её функции распределения

12.138 Известны математические ожидания и дисперсии независимых случайных величини:,,,. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, если:а) ; б).

12.139 Дискретная случайная величинапринимает три возможных значения:с вероятностью;с вероятностьюис вероятностью. Найтии, зная, что.

12.140 Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины:,,, а также известны математические ожидания этой величины и её квадрата:,. Найти закон распределения величины.

12.141 Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения:(). Вероятность, что Х примет значение, равна 0.2. Найти закон распределения Х, зная, её математическое ожиданиеи среднее квадратичное отклонение

12.142 Дискретная случайная величина Х имеет только три возможных значения:причемВероятности того, что Х примет значениясоответственно равны 0.3 и 0.2. Найти закон распределения величины Х, зная ее математическое ожиданиеи дисперсию.

12.143 Вероятность сдать экзамен по «Теории вероятностей» студентом на «5» равна 0.3; на «4» - 0.4. Найти вероятности получения оценок «2» и «3», если известно, что средний балл, получаемый студентами на экзамене.

12.144Известны математические ожидания и дисперсии независимых случайных величини:,,,. Найти математическое ожидание случайной величины, если:

а) ; б).

12.145 Распределение дискретной случайной величиныопределяется формулами:,. Требуется найти:

а)неизвестную постоянную;б).