§5. Схема Бернулли.

5.1 Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появлений события.

Схемой Бернулли называют последовательность испытаний, удовлетворяющую условиям: 1) результатом каждого испытания является один из двух возможных исходов: «успех» (появление некоторого события ) и «неудача»;2) испытания являются независимыми, т.е. вероятность «успеха» в каждом следующем испытании не зависит от результатов предыдущих испытаний; 3) вероятность «успеха» во всех испытаниях одинакова и равна .

Вероятность того, что виспытаниях по схеме Бернулли произойдёт ровно«успехов», определяетсяформулой Бернулли:

, .

Следствиями формулы Бернулли являются формулы:

1) - вероятность того, что виспытаниях по схеме Бернулли «успех» наступит не болеераз и не менеераз;

2) - вероятность того, что виспытаниях по схеме Бернулли «успех» наступит хотя бы один раз.

Число «успехов» , которому при заданномсоответствует максимальная вероятность, называетсянаивероятнейшим числом «успехов» (появлений события). Наивероятнейшее число «успехов» определяется по заданныминеравенствами:, где, причём может существовать одно или два наивероятнейших числа.

12.98 На улице наугад останавливают трёх человек и спрашивают в какой день недели они родились. Какова вероятность, что хотя бы двое из них родились в пятницу?

12.99 Экзамен состоит из 6 вопросов. На каждый вопрос дано три возможных ответа, среди которых необходимо выбрать один правильный. Какова вероятность, что методом простого угадывания удастся ответить не менее, чем на пять вопросов?

12.100 Для стрелка, выполняющего упражнение в тире, вероятность попасть в «яблочко» при одном выстреле не зависит от результатов предшествующих выстрелов и равна 0.25. Спортсмен сделал пять выстрелов. Найти вероятность того, что стрелок попадёт в «яблочко» не менее трёх раз.

12.101 В урне 20 белых и 10 чёрных шаров. Из урны вынимают подряд 4 шара, причём каждый раз вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность, что при четырёх извлечениях два раза окажется вынутым белый шар?

12.102 Три раза бросают пару одинаковых игральных костей. Найти вероятность того, что сумма очков равная семи выпадет два раза.

12.103Для нормальной работы автобазы на линии должно быть не менее 9 автомашин из 10 имеющихся. Вероятность невыхода каждой автомашины на линию равна 0.1. Найти вероятность того, что автобаза будет работать нормально в ближайший день.

12.104 В мастерской имеется 4 мотора. При существующем режиме работы вероятность того, что мотор в данный момент работает с полной нагрузкой, равна 0.8. Найти вероятность того, что в данный момент более половины из них работает с полной нагрузкой.

12.105 Учитель отбирает каждый раз случайно одного ученика для проверки подготовки домашнего задания. Какова вероятность того, что за шесть дней недели им будет выставлено четыре положительные оценки, если из 18 учеников всегда 6 полностью не сделали домашнее задание?

12.106 Отрезокразделён точкойв отношении 2:1. На этот отрезок наудачу брошены четыре точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точкии две – правее. Вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

12.107 Два равносильных шахматиста играют в шахматы (ничьи во внимание не принимаются). Что вероятнее:а)выиграть одну партию из двух или две партии из четырех?б)выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти?

12.108 В эксперименте по схеме Бернулли, состоящем из трёх независимых испытаний, вероятность ровно двух успехов (появлений некоторого события) в 12 раз больше вероятности трёх успехов. Найти вероятность успеха в одном испытании.

12.109 Для данного игрока в баскетбол вероятность забросить мяч в корзину со штрафного броска равна 0.5. Сколько надо предоставить игроку штрафных бросков, чтобы вероятность попасть в корзину хотя бы один раз была не менее 0.99.

12.110 Вероятность хотя бы одного появления некоторого событияв четырёх независимых испытаниях равна 0.5904. Какова вероятность появления событияв одном испытании, если в каждом испытании она одинакова?

12.111 Испытывается каждый из 15 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0.9. Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержат испытание.

12.112 Товаровед осматривает 24 образца товаров. Вероятность того, что каждый из образцов будет признан годным к продаже, равна 0.6. Найти наивероятнейшее число образцов, которые товаровед признает годными к продаже.

12.113 Сколько надо произвести независимых испытаний с вероятностью появления события в каждом испытании, равной 0.4, чтобы наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях было равно 25?

12.114 Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0.3. Найти число испытаний, при котором наивероятнейшее число появлений события равно 30.

12.115 Чему равна вероятностьнаступления события в каждом из 49 независимых испытаний, если наивероятнейшее число наступлений события в этих испытаниях равно 30?

12.116 Чему равна вероятностьнаступления события в каждом из 39 независимых испытаний, если наивероятнейшее число наступлений события в этих испытаниях равно 25?