§ 18. Силовое поле. Центр тяжести твердого тела

Область, в каждой точке которой на помещенную туда материальную частицу действует сила, зависящая от координат этой точки, называется силовым полем.

Например, на каждую частицу тела, находящегося вблизи земной поверхности, действует направленная вертикально вниз сила тяжести. Эти силы образуют поле сил тяжести. Силы тяжести, действующие на частицы тела, можно считать параллельными друг другу и сохраняющими для каждой частицы постоянное значение при любых поворотах тела. Поле тяжести, в котором выполняются эти два условия, называют однородным полем тяжести.

Равнодействующую сил тяжести , ,…, действующих на частицы тела, обозначим через (рис. 39). Модуль этой силы называется весом тела и определяется равенством

. (41)

Рис. 39

При повороте тела силы остаются параллельными друг другу. Следовательно, равнодействующая сил будет при любых положениях тела проходить через одну и ту же точку С, являющуюся центром параллельных сил тяжести . Эта точка называется центром тяжести тела. Таким образом, центром тяжести твердого тела называется неизменно связанная с этим телом точка, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести, действующих на частицы тела, при любом положении тела в пространстве.

Координаты центра тяжести, как центра параллельных сил, определяются формулами (40); следовательно,

, ,, (42)

где x_k,y_k,z_k – координаты точек приложения сил тяжести .

Отметим, что центр тяжести – это точка геометрическая; она может лежать и вне пределов данного тела (например, для кольца).

§19. Координаты центров тяжести однородных тел

Для однородного тела вес p_k любой его части и вес Р всего тела пропорциональны соответственно объемам v_k этой части и V всего тела, т.е.

, ,

где – вес единицы объема.

Подставив эти значения Р и р_k в формулы (42), получим

, ,. (43)

Как видно, положение центра тяжести однородного тела зависит только от его геометрической формы. Поэтому точку С, координаты которой определяются формулами (43), называют центром тяжести объема V.

Путем аналогичных рассуждений легко найти, что если тело представляет собой однородную плоскую и тонкую пластину, то для нее

, , (44)

где S – площадь пластины, s_k – площади ее частей. Точку, координаты которой определяются формулами (44), называют центром тяжести площади S.

Точно также получаются формулы для координат центра тяжести линии:

, , , (45)

где L – длина линии, ℓ_k – длина ее частей.

Таким образом, центр тяжести однородного тела определяется, как центр тяжести соответствующего объема, площади или линии.

§20. Способы определения координат центров тяжести тел

Исходя из полученных выше формул, можно указать способы определения координат центров тяжести тел.

1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно или в плоскости симметрии, или на оси симметрии, или в центре симметрии. Из свойств симметрии следует, что центр тяжести однородного круглого кольца, круглой или прямоугольной пластины, прямоугольного параллелепипеда, шара лежит в геометрическом центре (центре симметрии) этих тел.

2. Разбиение. Если тело можно разбить на конечное число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести тела можно вычислить по формулам (42) – (45).

3. Дополнение. Этот способ применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны.

4. Интегрирование. Тело разбивают на произвольно малые объемы Δv_k, для которых формулы (49) принимают вид

, ,. (46)

где x_k,y_k,z_k – координаты некоторой точки, лежащей внутри объема Δv_k. Затем в равенствах (46) переходят к пределу, устремляя все Δv_kк нулю. Тогда суммы обращаются в интегралы и формулы (46) дают в пределе

,,. (47)

Аналогично для координат центров тяжести площадей и линий получаем:

, . (48)

и

, , . (49)

5. Экспериментальный способ. Центры тяжести неоднородных тел сложной конфигурации (самолет, тепловоз и т.п.) определяют экспериментально.