- •Введение
- •Глава 1. Исходные положения статики.
- •§1. Аксиомы статики
- •§ 2. Связи и их реакции
- •§ 3. Геометрический способ сложения сил.
- •§ 4. Проекция силы на ось и плоскость.
- •§5. Равновесие системы сходящихся сил
- •Глава 2 момент силы относительно центра. Пара сил
- •§6. Момент силы относительно центра (или точки)
- •§7. Алгебраический момент силы относительно центра
- •§8. Пара сил. Момент пары
- •§ 9. Алгебраический момент пары сил
- •Глава 3. Приведение системы сил к центру. Условия равновесия
- •§10. Теорема о параллельном переносе силы
- •§11. Приведение произвольной системы сил к центру
- •§12. Условия равновесия системы сил.
- •§13. Приведение плоской системы сил к простейшему виду
- •§ 14. Равновесие плоской системы сил. Случай параллельных сил
- •§15. Решение задач
- •§16. Равновесие при наличии трения скольжения
- •Глава 4
- •§17. Центр параллельных сил
- •§ 18. Силовое поле. Центр тяжести твердого тела
- •§19. Координаты центров тяжести однородных тел
- •§20. Способы определения координат центров тяжести тел
- •§21. Центры тяжести некоторых однородных тел
§12. Условия равновесия системы сил.
Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
Покажем, что для равновесия любой системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее главный момент относительно любого центра были равны нулю, т. е. чтобы выполнялись условия
, , (24)
где О – любой центр, так как при значение от выбора центра О не зависит.
Условия (24) являются необходимыми, так как если какое-нибудь из них не выполняется, то система действующих на тело сил приводится или к равнодействующей (когда ), или к паре сил (когда ) и, следовательно, не является уравновешенной. Одновременно условия (24) являются и достаточными, потому что при система сил может приводится только к паре с моментом, а так как , то имеет место равновесие.
Теорема Вариньона: если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любого центра О равен сумме моментов сил системы относительно того же центра.
Пусть система сил ,, …,приводится к равнодействующей, линия действия которой проходит через некоторую точку С (рис. 24). Приложим в этой точке силу. Тогда система сил,, …,, будет находиться в равновесии и для нее должно выполнятся условие, т. е. для данных сил должно быть
.
Но так как и обе силы направлены вдоль одной и той же прямой, то
.
Подставляя это значение в предыдущее равенство, найдем из него, что
. (25)
Тем самим теорема доказана.
Рис. 24
§13. Приведение плоской системы сил к простейшему виду
Результат, полученный в §11, справедлив и в частном случае плоской системы сил. Плоская система сил тоже приводится к силе, равной и приложенной в произвольно выбранном центре О, и паре сил с моментом, но сила и пара лежат в данном случае в одной плоскости – в плоскости действия сил (рис. 25, а, где пара изображена дуговой стрелкой). Значения главного вектора и главного момента даются формулами (22) и (23); при этом вектор можно определить или геометрически построением силового многоугольника (§ 3), или аналитически по формулам (8) из § 4.
Рис. 25
Таким образом, для плоской системы сил
, ,, (26)
где все моменты в равенстве алгебраические и сумма тоже алгебраическая. Найдем, к какому простейшему виду может приводиться данная плоская система сил, не находящаяся в равновесии.
1. Если для данной системы сил , а, то она приводится к одной паре с моментом . Как показано в §11, значениев этом случае не зависит от выбора центра О.
2. Если для данной системы сил , то она приводится к одной силе, т.е. к равнодействующей. При этом возможны два случая:
а) ,. В этом случае система приводится к равнодействующей, проходящей через центр О;
б) , . В этом случае пару с моментом можно изобразить двумя силамии, беря, а(рис. 25, б). При этом, если d = OC – плечо пары, то должно быть
. (27)
Отбросив теперь силы и, как уравновешенные, найдем, что вся система сил заменяется равнодействующей, проходящей через точку С. Положение точки С определяется двумя условиями: 1) расстояние OC = d () должно удовлетворять равенству (27); 2) знак момента относительно центра О силы, приложенной в точке С, т.е. знак, должен совпадать со знакомMO.
Таким образом, плоская система сил, не находящаяся в равновесии, может быть окончательно приведена или к одной силе, т.е. к равнодействующей (когда ), или к паре сил (когда ).