- •Введение
- •Глава 1. Исходные положения статики.
- •§1. Аксиомы статики
- •§ 2. Связи и их реакции
- •§ 3. Геометрический способ сложения сил.
- •§ 4. Проекция силы на ось и плоскость.
- •§5. Равновесие системы сходящихся сил
- •Глава 2 момент силы относительно центра. Пара сил
- •§6. Момент силы относительно центра (или точки)
- •§7. Алгебраический момент силы относительно центра
- •§8. Пара сил. Момент пары
- •§ 9. Алгебраический момент пары сил
- •Глава 3. Приведение системы сил к центру. Условия равновесия
- •§10. Теорема о параллельном переносе силы
- •§11. Приведение произвольной системы сил к центру
- •§12. Условия равновесия системы сил.
- •§13. Приведение плоской системы сил к простейшему виду
- •§ 14. Равновесие плоской системы сил. Случай параллельных сил
- •§15. Решение задач
- •§16. Равновесие при наличии трения скольжения
- •Глава 4
- •§17. Центр параллельных сил
- •§ 18. Силовое поле. Центр тяжести твердого тела
- •§19. Координаты центров тяжести однородных тел
- •§20. Способы определения координат центров тяжести тел
- •§21. Центры тяжести некоторых однородных тел
§ 14. Равновесие плоской системы сил. Случай параллельных сил
Необходимые и достаточные условия равновесия любой системы сил даются равенствами
, ,
выражаемыми формулами (24). Найдем вытекающие отсюда аналитические условия равновесия плоской системы сил.
1. Основная форма условий равновесия. Так как вектор равен нулю, когда равны нулю его проекции Rx и Ry, то для равновесия должны выполняться равенства Rx = 0, Ry = 0 и MO = 0, где в данном случае MO – алгебраический момент, а О – любая точка в плоскости сил. Но из формул (26) следует, что предыдущие равенства будут выполнены, когда действующие силы удовлетворяют условиям:
, ,. (28)
Формулы (28) выражают следующие аналитические условия равновесия: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил на каждую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю. Одновременно равенства (28) выражают условия равновесия твердого тела, находящегося под действием плоской системы сил.
2. Вторая форма условий равновесия: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов сил относительно каких-нибудь двух центров А и В и сумма их проекций на ось Оx, не перпендикулярную прямой АВ, были равны нулю:
, ,. (29)
Необходимость условий очевидна, так как если любое из них не выполняется, то или ; или () и равновесия не будет. Докажем их достаточность. Если для данной системы сил выполняются только первые два из условий (35), то для нее MA = 0 и MB = 0. Такая система может не находится в равновесии, а иметь равнодействующую , одновременно проходящую через точки А и В (рис. 26). Но по третьему условию должно быть . Так как ось Оx проведена не перпендикулярно к АВ, то последнее условие может быть выполнено, только когда, т.е. когда имеет место равновесие.
Рис. 26
3. Третья форма условий равновесия (уравнения трех моментов): для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех этих сил относительно любых трех центров А, В и С, не лежащих на одной прямой, были равны нулю:
,,. (30)
Необходимость условий очевидна. Достаточность условий (30) следует из того, что если при одновременном выполнении этих условий данная система сил не находилась бы в равновесии, то она должна была бы приводится к равнодействующей, одновременно проходящей через точки А, В и С, что невозможно, так как эти точки не лежат на одной прямой. Следовательно, при выполнении условий (30) имеет место равновесие.
4. Равновесие плоской системы параллельных сил. В случае, когда силы параллельны друг другу, можно направить ось Оx перпендикулярно силам, а ось Оy параллельно им (рис. 27). Тогда проекция каждой из сил на ось Оx будет равна нулю и первое из равенств (28) обратится в тождество вида. В результате для параллельных сил останется два условия равновесия:
,. (31)
где Оy параллельна силам.
Другая форма условий равновесия для параллельных сил, получающаяся из равенств (29), имеет вид:
,. (32)
При этом точки А и В не должны лежать на прямой, параллельной силам.
Рис. 27