Глава 2 момент силы относительно центра. Пара сил

§6. Момент силы относительно центра (или точки)

При рассмотрении пространственной системы сил применяется понятие момента силы относительно центра (или точки).

Определение. Моментом силы относительно центра О называется приложенный в центре О вектор, модуль которого равен произведению модуля F силы на ее плечо h и который направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и силу, в ту сторону, откуда сила видна стремящейся повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки (рис. 17). Плечом h силы F относительно центра О называют длину отрезка перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы.

Согласно этому определению

, (11)

где .

Измеряется момент силы в ньютон-метрах (Н·м).

Рис. 17

Для нахождения формулы, которая выражает вектор , рассмотрим векторное произведение. По определению

Направлен вектор перпендикулярно плоскости OAB в ту сторону, откуда кратчайшее совмещениес(если их отложить от одной точки) видно происходящим против хода часовой стрелки, т.е. так же, как вектор. Следовательно, векторыивыражают одну и ту же величину. Отсюда

или , (12)

где – радиус-вектор точки А, проведенной из центра О.

Момент силы имеет следующие свойства:

1) момент силы относительно центра не изменится при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия;

2) момент силы относительно центра О равен нулю или когда сила равна нулю, или когда линия действия силы проходит через центр О (плечо равно нулю).

§7. Алгебраический момент силы относительно центра

При рассмотрении плоской системы сил используется понятие алгебраического момента силы относительно центра. Когда все силы системы лежат в одной плоскости, их моменты относительно любого центра О находящегося в той же плоскости, перпендикулярны этой плоскости, т.е. направлены вдоль одной и той же прямой. Тогда, не прибегая к векторной символике можно направления этих моментов отличить одно от другого знаком и рассматривать момент силы относительно центра О как алгебраическую величину. Условимся такой момент называть алгебраическим и обозначать символом. Алгебраический момент силыотносительно центра О равенвзятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на ее плечо, т.е.

. (13)

При этом момент считается положительным, когда сила стремится повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки, и отрицательным – когда по ходу часовой стрелки. Так для сил, изображенных на рис. 18: ,.

Рис. 18

§8. Пара сил. Момент пары

Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело (рис. 19, а).

Рис. 19

Система сил ,, образующих пару, не находится в равновесии (эти силы не направлены вдоль одной прямой (аксиома 1)). В то же время пара сил не имеет равнодействующей поскольку. Поэтому свойства пары сил, как нового самостоятельного элемента статики, должны быть рассмотрены отдельно.

Плоскость, проходящая через линии действия сил пары, называется плоскостью пары. Расстояние d между линиями действия сил пары называется плечом пары. Действие пары сил на твердое тело сводится к некоторому вращательному моменту пары.

Определение: моментом пары сил называется вектор , модуль которого равен произведению модуля одной из сил пары на ее плечо и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары в ту сторону, откуда пара видна стремящейся повернуть тело против хода часовой стрелки (рис. 19, б), т.е.

.

В отличие от момента силы вектор пары является свободным вектором, т.е. его можно переносить в любую точку тела.

Моменту пары можно дать другое выражение: момент пары равен сумме моментов относительно любого центра О сил, образующих пару, т.е.

. (14)

Рис. 20

Для доказательства проведем из произвольной точки О (рис. 20) радиусы векторы и. Тогда согласно формуле (12), учтя еще, что, получим

, и, следовательно

,

где .

Так как , то справедливость равенства (14) доказана. Отсюда, в частности, следует уже отмеченный выше результат

или , (15)

т.е. момент пары равен моменту одной из ее сил относительно точки приложения другой силы. Отметим еще, что модуль момента пары

m = Fd . (16)

Из формулы (14) следует, что две пары сил, имеющие одинаковые моменты, эквивалентны.

Из формулы (14) следует еще, что если на тело действует несколько пар с моментами ,, …, то сумма моментов всех сил, образующих эти пары, относительно любого центра будет равна, а следовательно, вся совокупность этих пар эквивалентна одной паре с моментом

. (17)

Этот результат выражает теорему о сложении пар.