§ 9. Алгебраический момент пары сил

Поскольку момент пары сил равен моменту одной из ее сил относительно точки приложения другой силы (15)

или ,

то для пар, лежащих в одной плоскости, момент пары можно рассматривать как алгебраическую величину и обозначать символом m. При этом алгебраический момент пары равен взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на плечо пары:

. (18)

Правило знаков здесь такое же, как и для алгебраического момента силы: алгебраический момент пары сил имеет знак плюс, если пара сил стремится вращать тело против часовой стрелки, и знак минус, если пара сил стремится вращать тело по часовой стрелке. Так, для изображенной на рис. 21, а пары ,, момент, а для пары,, момент. Поскольку пара сил характеризуется только ее моментом, то на рисунках пару изображают часто просто дуговой стрелкой (рис. 21, б).

Рис. 21

Глава 3. Приведение системы сил к центру. Условия равновесия

§10. Теорема о параллельном переносе силы

В задачах на равновесие тел сила может быть перенесена в любую точку на линии ее действия.

Теорема: силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно, не изменяя оказываемого ею действия, переносить из данной точки в любую другую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда сила переносится.

Пусть на твердое тело действует сила , приложенная в точке А (рис. 22). Действие этой силы не изменится, если в любой точке В тела приложить две уравновешенные силыи, такие, что,.

Полученная система трех сил и представляет собой силу , равную, но приложенную в точке В, и пару,с моментом

. (19)

Рис. 22

Последнее равенство следует из формулы (15). Таким образом, теорема доказана.

§11. Приведение произвольной системы сил к центру

Теорема о приведении системы сил: любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно выбранному центру О заменяется одной силой , равной главному вектору системы сил и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом, равным главному моменту системы сил относительно центра О (рис. 23, б).

Пусть на твердое тело действует произвольная система сил ,, …,(рис. 23, а). Выберем точку О за центр приведения и, пользуясь теоремой, доказанной в §10, перенесем все силы в центр О, присоединяя при этом соответствующие пары. Тогда на тело будет действовать система сил

,   ,   …,, (20)

приложенных в центре О, и система пар, моменты которых согласно формуле (19) равны:

,   , ,   …,   . (21)

Сходящиеся силы, приложенные в точке О, заменяются одной силой , приложенной в точке О. При этомили, согласно равенствам. (20)

. (22)

Чтобы сложить все полученные пары, надо сложить векторы моментов этих пар. В результате система пар заменяется одной парой, момент которой или, согласно равенствам (21)

. (23)

Как известно величина равная геометрической сумме всех сил, называется главным вектором системы сил; величина, равная геометрической сумме моментов всех сил относительно центра О, называется главным моментом системы сил относительно этого центра.

Таким образом, теорема доказана.

Рис. 23

Заметим, что сила не является здесь равнодействующей данной системы сил, так как заменяет систему сил не одна, а вместе с парой.

Отметим, что значение от выбора центра О не зависит. Значение жепри изменении центра О может изменится вследствие изменения значений моментов отдельных сил.

Рассмотрим в заключение частные случаи: 1)  если для данной системы сил , а, то она приводится к одной паре сил с моментом. В этом случае значениене зависит от выбора центра О, так как иначе получилось бы, что одна и та же система сил заменяется разными, не эквивалентными друг другу парами, что не возможно; 2) если для данной системы сил, а, то она приводится к одной силе т.е. равнодействующей, равнойи приложенной в центре О.