- •Глава 5. Методы распознавания типа тренда и оценки его параметров
- •5.1. Применение графического изображения для распознавания типа тенденции
- •5.2. Методика проверки статистических гипотез о типе тренда
- •5.3. Оценка параметров линейного, параболического и гиперболического трендов
- •Проверка гипотезы о линейном тренде урожайности зерновых культур, ц/га
- •Результаты дисперсионного анализа различий между средними абсолютными изменениями
- •5.3.1. Уравнение прямой линии тренда
- •5.3.2. Уравнение параболического (II порядка) тренда
- •5.3.3. Гиперболическое уравнение тренда
- •5.4. Оценка параметров экспоненциального, логарифмического и логистического уравнений тренда
- •5.4.1. Экспоненциальное уравнение тренда
- •Расчет экспоненциального тренда численности населения Земли в 1950-2000 гг.
- •5.4.2. Логарифмическое уравнение тренда
- •5.4.3. Логистическое уравнение тренда
- •5.5. Многократное скользящее выравнивание
- •Расчет логистического тренда
5.3.1. Уравнение прямой линии тренда
Уравнение имеет вид:
где -уровень тренда для периода или момента с номером ;
а -свободный член уравнения, равный среднему уровню тренда для периода (момента) с нулевым номером ;
b -главный параметр линейного тренда - его константа - среднее абсолютное изменение за принятую в ряду единицу времени.
Величина параметров аиbопределяется по методу наименьших квадратов путем приравнивания частных первых производных функции
После алгебраических преобразований получаем два «нормальных уравнения» метода наименьших квадратов (МНК) для прямой:
Решая эти уравнения с двумя неизвестными по данным фактического временного ряда yi(i= 1-n), получаем значенияаиb.Если номера периодов (моментов) времени отсчитываются от начала ряда так, что первый период (момент) обозначен номеромt= 1, то свободный членаесть уровень тренда для предыдущего периода (момента), а не первого в ряду, как часто ошибочно полагают. Для первого периода уровень трендаравена+b, для второго
= a+2bи т.д.
Однако рациональнее начало отсчета времени перенести в середину ряда, т.е. при нечетном п -на период (момент) с номером(п +1 )/2, а при четном числе уровней ряда - на середину между периодом с номеромn/2 и (n/2)+1. В последнем случае все номера периодовtiбудут дробными. При нумерации периодов времени точно от середины ряда половина номеровtiбудет отрицательными числами (аналогично годам до нашей эры), а половина - положительными, т.е.= 0. В таком случае система нормальных уравнений МНК распадается на два уравнения с одним неизвестным в каждом:
(5.5), (5.6)
Откуда имеем:
(5.7)
(5.8)
К сожалению, многие компьютерные программы не предусматривают такого упрощения, и нумерация периодов (моментов) в них производится с начала ряда, с номера t= 1, причем пользователь об этом не предупреждается. При расчетах без компьютера, конечно, следует применить упрощенный прием. Знаменатель в формуле (5.8) при нумерации периодов от середины ряда вычисляется устно приn10 или по формуле:
Приведем расчет линейного тренда по временному ряду (см. рис. 4.1). Динамика численности занятых в народном хозяйстве России с 1990 по 1996 г. представлена в табл. 5.3. В целях экономии места в той же таблице приведены и другие показатели, необходимые для измерения колеблемости, описываемые в гл.6.
Таблица 5.3 Расчет линейного тренда
Год |
Уровень, , млн. чел. |
Номер года, |
Тренд млн. чел. |
Отклонение от тренда, -= | |||
1990 |
75,3 |
-3 |
-225,9 |
75,3 |
0,0 |
0,00 |
0,00 |
1991 |
73,8 |
-2 |
-147,6 |
73,7 |
0,1 |
0,01 |
0,00 |
1992 |
72,1 |
-1 |
-72,1 |
72,1 |
0,0 |
0,00 |
0,00 |
1993 |
70,9 |
0 |
0,0 |
70,5 |
0,4 |
0,16 |
-0,16 |
1994 |
68,5 |
1 |
68,5 |
68,9 |
-0,4 |
0,16 |
0,08 |
1995 |
67,1 |
2 |
134,2 |
67,3 |
-0,2 |
0,04 |
-0,04 |
1996 |
65,9 |
3 |
197,7 |
65,7 |
0,2 |
0,04 |
- |
Σ |
493,6 |
0 |
-45,2 |
493,5 |
0,1 |
0,41 |
-0,12 |
Уравнение тренда: _у; = 70,5-1,615?,, ^. = 0 в 1993 г. В среднем численность занятых сокращалась на 1615 тыс. чел. в год. Сумма уровней тренда должна равняться сумме фактических уровней, различие в четвертой значащей цифре связано с округлением значений параметров