5.3.3. Гиперболическое уравнение тренда

Уравнение имеет вид: у,=а+—, т.е. отличается от линейного уравнения тем, что вместо первой степени включает номера периодов времени (моментов) в минус первой степени: . Соответственно нормальные уравнения метода наименьших квадратов получат вид:

Однако при этом нельзя, в отличие от линейного тренда, пе­реносить начало отсчета периодов времени в середину, так как гипербола не имеет постоянного параметра изменения уровней на протяжении всего периода, и все величины должны быть положительными.

Рассмотрим расчет гиперболического уравнения тренда (табл. 5.5) по данным рис. 4.4 - динамика расхода условного топлива на производство электроэнергии на электростанциях региона (г. на 1 кВт-ч).

Таблица 5.5. Расчет гиперболического уравнения тренда

Год	, г на 1 кВт-ч			1/	Ati	Тренд,	- =
1960	468	1	1,000	1,000	468	473	-5	25
1965	401	2	0,500	0,250	200	387	+14	196
1970	367	3	0,333	0,111	122	359	+8	64
1975	340	4	0,250	0,062	85	344	-4	16
1980	328	5	0,200	0,040	66	336	-8	64
1985	326	6	0,167	0,028	54	330	-4	16
1990	325	7	0,143	0,020	46	326	-1	1
Σ	2555	-	2,593	1,511	1041	2555	0	382

Нормальные уравнения МНК:

Решая систему уравнений, получаем:

Уравнение гиперболического тренда удельного расхода топ­лива имеет вид:

где = 0 в 1965г.

Величина удельного расхода 301,3 - это предел, к которому стремится экономия топлива при данной технологии тепловых электростанций региона. Существенного резерва экономии уже нет.

5.4. Оценка параметров экспоненциального, логарифмического и логистического уравнений тренда

Данные типы трендов объединены в одну группу в связи с необходимостью при оценке их параметров прибегать к лога­рифмированию. При расчете логарифмического уравнения трен­да логарифмируют номера периодов (моментов) времени, а при расчете параметров экспоненциального и логистического трен­дов - сами уровни. Поскольку отрицательные числа не имеют действительных логарифмов, если нужно логарифмировать но­мера периодов времени, то нельзя переносить начало их отсче­та в середину ряда. Если же сами уровни могут принимать отрицательные значения, например, уровни финансового ре­зультата от реализации, уровни температуры воздуха или по­чвы, то необходимо перенести начало отсчета уровней на величину, алгебраически меньшую реального наименьшего уровня. Например, температуру следует выразить не в граду­сах Цельсия, а в Кельвинах, финансовый результат при наи­большем убытке 83 млн. руб., отсчитывать от -100 млн. руб., чтобы наинизший уровень выразился как 17 млн. руб. По окон­чании расчета тренда нетрудно восстановить обычные едини­цы измерения. Так, получив тренд финансового результата при отсчете от

-100 млн. руб. как

нужно по нему рассчитать все уровни тренда, а затем приба­вить к ним величину -100 млн. руб. Начиная с t= 48, уровни тренда станут положительными числами в обычном смысле: