Экономическая ТЕОРИЯ / Занг В.Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. 1999

следующим образом: стартуя из любой произвольной точки, экономика всегда равномерно сходится к единственному значению соотношения «капитал/труд» на больших временах. Более того, вдоль равновесной траектории роста капитал возрастает с той же скоростью, что растет численность населения — это простое и красивое следствие модели роста Солоу. Исторический обзор развития этой модели можно найти в Нобелевской лекции Солоу 1987 года (Солоу, 1988).

3.2 Классификация дифференциальных систем второго порядка

Если f(х) = Ах, где А — постоянная числовая матрица, то система dx/dt = Ах называется линейной автономной системой. Известно, что единственная точка равновесия х = 0 устойчива, если для каждого собственного значения матрицы А выполняется условие Re (z) ≤ 0, причем при Re (z) = 0 собственное значение z будет простым. Более того, равновесие асимптотически устойчиво в том и только том случае, если для каждого z выполняется условие Re (z) <0.

Чтобы проиллюстрировать некоторые концепции, развитые к настоящему времени, рассмотрим линейную систему для двух переменных

Поскольку система линейна, мы ищем решение в виде

где и и v — константы. Таким образом, имеем

zu=au+bv,

zv = cu+dv.

(3.2.2)

Система (3.2.2) разрешима, когда |A - zI| = 0, где A — матрица системы (3.2.1), т.е. когда z является собственным значением матрицы, а (и, v)T — соответствующим собственным вектором. Собственное значение определяется из характеристического уравнения

где

T = а + d,

W= ad-bc,

представляют собой соответственно след и определитель матрицы А.

В общем случае уравнение (3.2.3) обладает двумя различными корнями z1 и z2. Следовательно, решение системы (3.2.1) имеет вид

где c1, c2 определяются начальными условиями, а коэффициенты Θ1, Θ2 являются корнями уравнения

Из этих выражений легко установить, что качественные характеристики решения полностью определяются типом собственных значений. Поскольку собственные значения удовлетворяют квадратному уравнению (3.2.3), имеющему корни z1 и z2, можно выделить следующие случаи (см., например, Бриттен, 1986) 3.

I) Пусть z1 и z2 действительны и различны и имеют один и тот же знак. Тогда равновесие устойчиво, если они отрицательны, и неустойчиво — если положительны. В этом случае точка равновесия называется устойчивым или неустойчивым узлом. Траектории имеют форму, показанную на рис. 3.3.

II) Если z1 и z2 — действительны и имеют разные знаки, равновесие называется седловой точкой или седлом. Соответствующие траектории показаны на рис. 3.4.

III) Пусть z1 и z2 комплексно сопряжены. В этом случае Re(z1) = Re (z2) = Re (z). Благодаря мнимой части собственных значений траектории на фазовой плоскости будут охватывать точку равновесия. Если Re (z) < 0, они будут двигаться по спирали к

См. также Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.:, Наука, изд. 3, 1984, 272 с. — Прим. ред.

Рис.3.3. Два собственных значения действительны и имеют один и тот же знак, (а) устойчивый узел, (b) неустойчивый узел.

равновесию, как показано на рис. 3.5а, а в случае Re(z) > 0 — в направлении, противоположном равновесию, как на рис. 3.5b. Такое равновесие называется устойчивым либо неустойчивым фокусом. Если Re(z) = 0, имеем предельный случай

— центр, вокруг которого траектории замыкаются, как показано на рис. 3.6.

IV) Теперь рассмотрим случай двух равных собственных чисел. Без потери общности можно считать а = d и bc = 0. Если это условие не выполняется, исходную систему можно привести к данной форме линейным преобразованием или поворотом осей на фазовой плоскости. В рассматриваемом случае имеются две возможности. Первая b = с = 0. Этот случай показан на рис. 3.7. Вторая возможность — b (или с) равно нулю (рис. 3.8). Оба равновесия относятся к типу узел.

V) Последняя возможность состоит в том, что одно (или оба) собственных значения равны нулю. В этом случае матрица А сингулярна,

существует нетривиальное решение А(x, у)T = 0, и все точки q(x,y)Т являются равновесиями (где q —действительная константа). Следовательно, в этом случае нуль не является больше изолированной особой точкой.

Следует заметить, что классификация этих случаев в соответствии со значениями Т и W дана в книге Николиса и Пригожина (1977).

Подобным образом могут быть проанализированы и системы больших размерностей.

3.3 Принцип устойчивости по линейному приближению

Поскольку, как правило, нас интересует устойчивость частного решения уравнения

обычно бывает удобно рассматривать поведение таких уравнений в окрестности отдельного «исходного» состояния (например, в окрестности положения равновесия х0). Мы можем рассматривать произвольное решение х(t) как некоторое невозмущенное решение u(t), которое подвергается непрерывно действующему внешнему возмущению или внутренней флуктуации X(t). Это вызывает сдвиг решения u(t) к новому решению

х(t) = u(t) + X(t)

(3.3.2)

Соотношение (3.3.2) определяет новую систему координат в фазовом пространстве с центром не в точке (0,...,0), а в новой точке и. Рассмотрим случай, когда и — это стационарное равновесное решение х0. Исходную систему можно переписать в виде

X=g(X)=AX+N(X),	(3.3.3)
где А — матрица, N(X) = о(Х) при Х → 0, (т.е. при Х → 0	выполняется

|N (X)| / |X| → 0). Слагаемое N(X) представляет собой нелинейный член уравнения. Здесь предполагается, что g(Х) достаточно гладкая функция, допускающая такое представление, и , g(0) = 0.

Устойчивость исходного положения равновесия x0 связана теперь с устойчивостью «тривиального решения» Х = 0. Следующий ниже широко известный результат иллюстрирует соотношение между устойчивостью нелинейной системы и соответствующей ей линеаризованной системы.

Теорема 3.3.1. Линеаризованная система, полученная из (3.3.3), имеет вид

Если матрица А такова, что (а) все собственные значения имеют отрицательную действительную часть, или (б) по крайней мере одно собственное значение имеет положительную действительную часть,

то в достаточно малой окрестности нуля устойчивость тривиального решения нелинейной системы (3.3.3) имеет тот же характер, что и устойчивость тривиального решения линеаризованной системы (3.3.4). Однако если линеаризованная система имеет одно или более собственных значений с нулевой действительной частью и не имеет собственных значений с положительной действительной частью, то нелинейная система будет устойчива, неустойчива или асимптотически устойчива в зависимости от своих нелинейных членов.

Доказательство теоремы можно найти, например, у Коддингтона и Левинсона (1955) и у Эрроусмита и Плейса (1982).

Мы не будем останавливаться на условиях устойчивости линейных систем, так как их можно найти в любом стандартном учебнике по дифференциальным уравнениям.

Чтобы проиллюстрировать приложение сформулированных выше концепций к экономике, мы рассмотрим модель экономического роста, учитывающую денежное обращение. Поскольку эта модель будет встречаться в книге и дальше, мы дадим здесь ее подробный анализ (см. Занг, 1989).

Ниже предполагается, что производственная функция идентична той, что использована в модели Солоу. Предполагается также, что благосостояние населения может обеспечиваться несколькими взаимоисключающими путями. Деньги, бесплатно генерируемые (вводимые в оборот) правительством, служат мерой. Деньги требуются для проведения сделок и инвестиции. Спрос на деньги зависит от распределения доходов и благосостояния населения. Однако для простоты мы предположим, что денежный спрос на душу населения является функцией дохода на душу населения, благосостояния на душу населения и прибыли, ожидаемой при данном вложении капитала. Предполагается, что денежный рынок всегда находится в равновесии, т. е. спрос на деньги всегда равен предложению. Предполагается также, что функция спроса на деньги имеет следующий вид:

где т (=M/L, где М — объем денежных запасов, a L — трудовые ресурсы) — это объем денежных запасов, приходящийся на душу населения, G — непрерывная функция своих аргументов, у — производство продукции на душу населения, w (= pk + т, где р — цена) — это благосостояние в денежном эквиваленте . на душу населения, а r — ожидаемый приток денег на капитал (r = f'(k) — d+ E[dp/dt/p], где k

—капитал, приходящийся на душу населения, d — скорость амортизации, E[dp/dt/p]

—ожидаемая скорость инфляции). Следуя традициям кейнсианства, считается,

что деньги предназначены для удовлетворение операционного и спекулятивного спроса, а функция G/p = g (k,r) не является однородной по k.

Реальное благосостояние W и реальный располагаемый доход Yd определяются соответственно как

W=K+M/p,

Yd = F(K, L) - dK + d(M/p)/dt.

Поскольку F(K, L) = С + dK + dK/dt, где С —потребление, имеем Yd = dW/dt + С. Таким образом, реальный чистый располагаемый доход равен изменению реального благосостояния плюс реальное потребление. Предполагается, что реальное потребление составляет всегда фиксированную долю от реального чистого дохода С = cYd, 0 < с < 1, где с — предельная склонность к потреблению. На основе этих предположений получаем dW/dt = sYd, где s = (1 — с). Количество денег в реальных ценах на душу населения определяется как х = M/pL. В соответствии с этими предположениями имеем

где п — фиксированная скорость роста населения, а z — постоянная скорость роста номинальных денежных накоплений. Параметр z фиксируется правительством.

Для того чтобы задать динамику роста цен, давайте сделаем наивное предположение, что инфляционные ожидания всегда соответствуют реальной инфляции E[dp/dt/p] = dp/dt/p. Таким образом, имеем dp/dt = p[r - f'(k) + d]. С другой стороны, из условия равновесия (3.3.5), мы можем определить z как функцию k и x: r = u(k, х), где иk > 0, иx < 0. В результате динамика цен определяется соотношением

с учетом которого (3.3.6) можно переписать как

где v = z - d- п.

Для капитала несложно получить следующее уравнение:

Система, состоящая из уравнений (3.3.7) и (3.3..8), носит название модели Тобина (см. Занг, 1989). Из сказанного следует, что наше рассмотрение ограничено лишь той областью значений параметров задачи, которые имеют смысл с точки зрения экономики. Это, кроме прочего, означает, что при надлежащих условиях может быть гарантировано существование единственного положительного равновесия (Бурмейстер и Добелл, 1970). В положении равновесия скорость изменения цен может быть положительной, отрицательной или нулевой в зависимости от знака (r — п). Можно показать, что равновесное значение k в случае отсутствия денег (х = 0) больше, чем равновесное значение отношения «капитал/труд» при наличии денег. Точка равновесия является седлом. Иллюстрацией поведения системы вблизи равновесия может послужить рис. 3.9.

Эти выводы легко проверить, применяя описанные выше аналитические результаты.

3.4Прямой метод Ляпунова

Исследование устойчивости, основанное на системе линеаризованных в окрестности равновесия уравнений, приводит к необходимости прямого интегрирования этой системы. Для систем, содержащих множество экономических переменных, это зачастую не лучший выход из положения, особенно когда упомянутое равновесие явно зависит от времени и/или пространственных переменных.

В противоположность этому методу метод, известный как второй (или прямой) метод Ляпунова, обеспечивает нас условиями устойчивости, которые (а) не требуют интегрирования линеаризованной системы, (б) приложимы к решениям любого типа, включая явно зависящие от времени и/или пространственных переменных, и непосредственно применимы к нелинейным системам, подобным (3.1.1). Следует заметить, что для случая, когда нелинейные члены существенны для определения равновесия, мы располагаем очень небольшим числом теорем общего характера, так что обычно необходимо рассматривать каждую новую систему отдельно. Именно поэтому теорема Ляпунова в теории устойчивости играет особенно важную роль. Этот метод находит широкое применение и в экономике (см., например, Эрроу и Хан, 1971).

Определение 3.4.1. (Функция Ляпунова.) Функция V : Rm → R называется положительно определенной, если (а) V(0) = 0 и (б) V > 0 во всех остальных точках из некоторой открытой области G Rm содержащей нулевую точку. Для любого решения х = x(t) уравнения dx/dt == f(x) функция V(x) = V(x(t)) зависит от времени t, и ее полная производная определяется как

при достаточно гладкой функции V. Функцией Ляпунова V : Rm → R системы уравнений dx/dt = f(x) называется положительно определенная функция, обладающая непрерывными производными, такими, что dV/dt ≤ 0 на G для любого решения х системы dx/dt = f(x).

Теорема 3.4.1. Если для системы (3.3.1) при f(0) = 0 существует функция Ляпунова, то равновесие в нуле является устойчивым.

Теорема 3.4.2. Если функция Ляпунова существует и - dV/dt положительно определена, то нуль асимптотически устойчив.

Теорема 3.4.3. Равновесие x = 0 неустойчиво, если существует положительно определенная функция V системы уравнений dx/dt = f(x), которая в нуле обращается в нуль (V(0) = 0), а в окрестности нуля обладает конечной производной и удовлетворяет соотношению V(dV/dt) > 0.

Доказательство этой теоремы можно найти у Коддингтона и Левинсона (1955) или Эрроусмита и Плейса (1982).

В качестве примера рассмотрим систему

где h непрерывна вблизи нуля и h(0, 0) = 0. В нуле линеаризованная система обладает особой точкой типа центр. Рассмотрим функцию V(x, у) = х2 + у2. Эта функция положительно определена, и имеет место соотношение dV/dt = 2Vh(x,y). Следовательно, если h является отрицательно определенной функцией, то нуль в некоторой своей окрестности является асимптотически устойчивым, а если положительно определенной — то нуль неустойчив. Этот результат носит нелокальный характер.

Воспользуемся прямым методом Ляпунова для доказательства устойчивости процесса самопроизвольного установления цен в модели Эрроу-Дебрэ. Следующий ниже пример основан преимущественно на работе Хана (1982).

Предположим, что экономическая система работает на производство N видов товаров и включает в себя Н домашних хозяйств и F фирм-производителей.

Определим хh RN как вектор торгового сальдо хозяйства h; x = ∑xh .

h

Аналогично, у f RN представляет собой вектор активности фирмы f, где положительные компоненты означают выпуск продукции, а отрицательные —

использование ресурсов: y = ∑y f .

f

Пусть z — вектор совокупного избытка спроса, a s — вектор совокупного избытка предложения, определяемые как

z = x-y = -s.

(3.4.2)

Пусть для удобства Z, X, Y и S обозначают векторы z, х, у и s без первой компоненты. Пусть р R+N . — вектор цен, а Р — вектор, равный (l/p1)p без первой компоненты. Предполагается, что p1 > 0. Вклад h-ого хозяйства в потребление запишем как wh R+N . Определим

Мы рассматриваем экономики, обладающие непрерывно дифференцируемыми функциями избыточного спроса (предложения). Хорошо известно, что в случае рационального поведения потребителей и производителей избыточные предложение и спрос можно определить как функции р и т*, т.е. s = s(p,w*) и z = z(p,w*).