Экономическая ТЕОРИЯ / Занг В.Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. 1999

что значения параметров, при которых имеют место такие качественные изменения, называются бифуркационными. Для полного понимания поведения системы знание ее бифуркационных параметров абсолютно необходимо. Рассмотрим следующее эволюционное уравнение:

где х определено в некотором пространстве, r представляет собой вектор параметров, а f — вектор-функция, удовлетворяющая определенным требованиям. У него могут быть решения различных типов — (I) постоянные, (II) периодические, (III) субгармонические, (IV) асимптотически квазипериодические и т.п.

Рассмотрим случай равновесия f(x,r) = 0. Если особо не оговорено, далее всегда будем предполагать, что f дифференцируема столько раз, сколько это необходимо. Положение равновесия мы можем рассматривать как функцию параметров. При заданном наборе параметров уравнение часто может иметь не одно, а несколько положений равновесия, и основной вопрос, который мы здесь намерены обсудить, состоит в том, как равновесие зависит от параметров задачи.

Пусть для удобства x и r принадлежат R1. Бифуркационная (статическая) задача эквивалентна исследованию кривых f(x,r) = 0 и их особых точек. Основным инструментом доказательства существования решений в теории бифуркаций является теорема о неявной функции для векторнозначных функций многих переменных (см., например, Чу и Хейл, 1982). В одномерном случае эту теорему можно сформулировать следующим образом:

Лемма. (Теорема о неявной функции в R1.) Пусть f(x0,r0) = 0 и f принадлежит классу С1 в некоторой открытой окрестности точки (x0,r0) на плоскости (x,r). Тогда если fx ≠0, то существуют такие α, β >0, что (I) всякий раз, когда x0 - β < х < х0 + β и r0 - α < r < r0+α, уравнение f(x, r) = 0 имеет единственное решение х = х(r), и (II)

существует xr(r), причем xr(r) = -fr(x(r)/fx(x(r),r).

Можно провести следующую классификацию точек, принадлежащих кривым решений (см. Йосс и Джозеф, 1980, Бриттон, 1986).

Определение 3.7.1. (Одномерный случай.)

i Регулярной точкой (x0,r0) для f(x, r) = 0 называется точка, в которой либо fx ≠ 0, либо fr ≠ 0. Регулярной точкой поворота называется такая регулярная точка, в которой rx(х) изменяет знак. На рис. 3.11a представлен случай fx = 0 при fr ≠ 0 в точке Р.

iiОсобая точка — это нерегулярная точка состояния равновесия, в которой fr = fx = 0.

iiiТочкой бифуркации называется такая особая точка, через которую проходят две или более ветвей решения уравнения f(x,r) = 0.

ivДвойная точка — это такая особая точка, через которую проходят две и только две ветви решения уравнения f(x,r) = 0, имеющие разные касательные, причем все вторые производные от f в этой точке не обращаются в нуль одновременно. Двойной точкой поворота называется

двойная точка, в которой на какой-либо из ветвей производная rx изменяет знак (рис. 3.11b).

v Точка самоприкосновения — это точка соприкосновения второго порядка двух ветвей кривой (рис. 3.11с).

viСопряженной точкой называется изолированная особая точка кривой f(x,r) = 0.

viiОсобой точкой высшего порядка называется особая точка, в которой все три вторые производные функции f(x, r) обращаются в нуль.

Теория бифуркаций изучает вопросы существования и устойчивости равновесных решений, так как в реальной ситуации неустойчивых равновесных решений уравнений не наблюдается. Скажем здесь еще, что между нарушением устойчивости и бифуркацией существует тесная связь. За более строгим изложением теории бифуркаций отсылаем читателя к книгам Саттингера (1973), Йосса и Джозефа (1980) или Чу и Хейла (1982)10. Ниже для иллюстрации понятия бифуркации приведем несколько примеров.

10См. также сноску в разд. 3.2. — Прим. ред.

Рис. 3.12. Бифуркационная диаграмма уравнения (3.7.2).

Рис. 3.13 Бифуркация Хопфа.

Рассмотрим уравнение

Его бифуркационная диаграмма представлена на рис. 3.12, где сплошной линией обозначена устойчивая ветвь, а пунктиром — неустойчивая.

Для уравнений

точка r = 0 является точкой бифуркации фазового потока (рис. 3.13). От равновесного решения (0,0) ответвляется периодическая орбита x2 + у2 = r, при этом происходит изменение характера устойчивости, как показано на рисунке. Этот тип бифуркации

(бифуркация Хопфа) является следствием проявления динамических свойств системы. Для уравнений

точка r = 0 является точкой бифуркации с траекториями, представленными на рис. 3.14 (см. Чу и Хейл, 1982). Точка равновесия (0,1) изменяет свои свойства устойчивости при переходе r от отрицательных к положительным значениям.

Рассмотрим уравнения

где b > 0, с > 0, bс > 1, d ≠ 0 — фиксированные параметры, а и и v — бифуркационные параметры, изменяющиеся в окрестности нуля. Следующая ниже теорема дает полное описание бифуркаций, которые возникают в этом уравнении

(см. Чу и Хейл, 1982).

Теорема 3.7.2. Существует такая окрестность U точки (х,у) = (0,0) и такая окрестность V точки (u,v) = (0,0), что при выделении в окрестности V подобластей, как показано на рис. 3.15, в которых поток системы в квадранте х ≥ 0, у ≥ 0 имеет вид, изображенный на рис. 3.16, для любых точек (и, v) в подобласти между L'2 и L''2 имеется по крайней мере одна периодическая орбита. Кривые L1, L'2, L''2, задаются формулами

где v ≤ 0, а константы h' и h" легко вычислить. Каждая из бифуркаций имеет тип «седло-узел», за исключением тех, что возникают при переходе границ L'2 и L''2, где для L''2 имеем бифуркацию Хопфа, а для L'2 — гетероклиническую орбиту.

Сообщим еще некоторые полезные сведения из теории бифуркаций. Определим каскад бифуркаций как последовательность бифуркаций решений нелинейных уравнений при увеличении бифуркационного

параметра (рис. 3.17). Каждая бифуркация может привести и к более сложному поведению, чем уже рассмотренные. Примером может послужить, в частности, диаграмма Ландау-Хопфа. Сценарий таков: стационарное (пространственно однородное) состояние распадается на новые стационарные (пространственно неоднородные) состояния. Каждое новое бифурцирует далее к состоянию осцилляторного типа (бифуркация Хопфа). Затем предельный цикл бифурцирует к тору. Ландау (1944) высказал предположение, что эти типы переходов продолжаются далее таким образом, что система испытывает последовательные бифуркации к торам все более и более высоких размерностей.

Можно утверждать, что в реальной ситуации описанные выше бифуркации наблюдаются редко, поскольку прямые переходы и соответствующие структурные изменения сглаживаются всегда присутствующими на практике дефектами и возмущениями.

В качестве примера рассмотрим общую нелинейную задачу

Решение х = x(r, h) зависит от двух скалярных параметров r и h. Параметр r, называемый бифуркационным параметром, является «входной амплитудой» системы (3.7.5), а малый параметр h — амплитудой неопределенности. Если h = 0, исследование F(x, r, 0) представляет собой бифуркационную задачу. Если h не равно нулю, назовем (3.7.5) возмущенной или неопределенной бифуркационной задачей.

Рассмотрим случай, когда h = 0, и r — точка бифуркации функции F(x, r, 0). На рис. 3.18 показаны три типа бифуркаций, которые возникают вблизи простой точки бифуркации r = r0. Типичные диаграммы отклика решений неопределенной бифуркационной задачи собраны на рис. 3.19. По аналогии с r0 определяется новый

критический параметр r = rc < r0. Точка rc называется предельной.

3.8Теория особенностей

Многие экономические проблемы сводятся к исследованию свойств гладких функций. Например, рациональное поведение предпринимателя или домохозяина в условиях идеального рынка можно описать функциями, зависящими от цен. Применяя теорию сравнительной статики, можно исследовать, как изменится спрос или предложение при изменении рыночных цен. Основную роль при исследовании поведения мелкого производителя и потребителя играют производственные функции и функции полезности. Теория особенностей занимается классификацией и изучением гладких функций. Эта теория имеет существенные достижения. Теория катастроф — одно из наиболее важных направлений в современной прикладной математике — является ее частным случаем.

Рассмотрим гладкую функцию f : Rn→Rm и предположим, что в начале координат f имеет критическую точку в начале координат, т.е. Df(0) = 0. Теория особенностей изучает следующие вопросы:

1.Проблему определенности: каков локальный характер функции f в окрестности нуля? Фактически этот вопрос эквивалентен вопросу: «В какой точке можно без опасений обрывать ряд Тейлора функции f?»

2.Проблему развертки: каковы существенные возмущения функции f? То есть, какие возмущения функции f изменяют ее качественную природу и не могут быть устранены заменой переменных?

3.Проблему классификации: можно ли провести классификацию типов особенностей функции f?

Элементарная теория катастроф решает эти проблемы для т = 1. Ее обобщение

—теория особенностей — решает первые две проблемы и дает относительно полную информацию о третьей для малых пит.

Чтобы проиллюстрировать применение теории особенностей, воспользуемся примером: обсудим с точки зрения теории особенностей бифуркацию «питчфорк»

—бифуркацию типа вилки (этот пример детально разобран в книге Голубицкого и Шеффера, 1984).

Рассмотрим уравнение

где r — параметр. Фундаментальным свойством этого уравнения является наличие бифуркации типа вилки, т. е. при переходе параметром r некоторой величины r0 (= 0) число решений п(r) скачкообразно возрастает от одного до трех. Множество решений (3.8.1) показано на рис. 3.20.

Как уже говорилось, при применении теории особенностей к анализу бифуркаций возникают два сложных вопроса. Первый относится к степени важности вклада членов высших порядков. Иными словами, вопрос можно сформулировать так: до каких пор

качественное поведение функции f(x, r) в окрестности бифуркации определяется членами низших порядков разложения функции в ряд Тейлора, позволяя пренебрегать возможным влиянием членов высших порядков? Пусть в случае бифуркации типа вилки для f(x, r) при (x, r) = (х0, r0) имеем

Очевидно, (3.8.1) удовлетворяет этому требованию. В этом случае значение п(r), число решений f(x, r), скачком возрастает от одного до трех при переходе r через пороговое значение r0. Это можно доказать, воспользовавшись теоремой о неявной функции. Однако в теории особенностей доказано значительно более сильное утверждение. Можно показать, что любая функция f, удовлетворяющая (3.8.2), может быть приведена к стандартной модели бифуркации-вилки х3 — rх = 0 подходящей заменой координат. Точнее, если f удовлетворяет (3.8.2), то существуют: (I) локальный диффеоморфизм R2 вида (x, r) → (Х(х, r), Y(r)), отображающий начало координат в точку (х0, r0), и (II) ненулевая функция S(x, r), такая, что в окрестности нуля имеет место

где Хх(х, r) > 0 и Y′ > 0. Поскольку S не обращается в нуль, решения уравнения f (х, r) = 0 отличаются от решений x3 – rх = 0 с точностью до диффеоморфизма. Это означает, что члены высшего порядка в разложении f не влияют на качественное поведение модели в малом — они могут быть уничтожены подходящей заменой координат.

Уравнение (3.8.3) приводит нас к определению фундаментального понятия теории особенностей — понятия эквивалентности. Две бифуркационные задачи f и g эквивалентны, если они могут быть связаны соотношением

где S не равна нулю и положительна, а (X, Y) — локальный диффеоморфизм, сохраняющий ориентацию x и r.

Если f и g эквивалентны, то такие две неоднозначные функции связаны соотношением

что представляет собой одно из важнейших следствий их эквивалентности..

Исследование бифуркации типа вилки является характерным для общего подхода теории особенностей к проблеме определенности. Далее будем называть x3 – rх = 0 нормальной формой бифуркации типа вилки. Всякая бифуркационная задача f(x, r), которая в некоторой точке (х0, r0) удовлетворяет условиям

эквивалентна этой нормальной форме. Будем говорить, что условие (3.8.5) разрешает задачу идентификации для данной нормальной формы. Эквивалентные бифуркационные задачи обладают одинаковыми качественными свойствами; точнее говоря, качественные свойства — это те, которые при наличии эквивалентности сохраняются.

Вторым сложным вопросом является вопрос, который возникает при изучении того, как могут зависеть бифуркационные задачи от параметров — ведь малые изменения вспомогательных параметров бифуркационной задачи f (х, r) в особой точке функции f приводят, как правило, к качественным изменениям бифуркационной диаграммы. Рассмотрим возмущение бифуркации типа вилки:

Соответствующие бифуркационные диаграммы для случая s ≠ 0 представлены на рис. 3.21.

В классической литературе различают два источника появления дополнительных параметров бифуркационной задачи. Во-первых, сама исходная формулировка экономической модели может содержать множество вспомогательных параметров. Во-вторых, новые параметры возникают при уточнении более грубой модели. В подходе, развиваемом теорией особенностей, возникновение дополнительных параметров происходит следующим образом. Сперва для данной бифуркационной задачи f строится определенное характерное семейство возмущений f. Пусть

F(х, r, s1,..., sk) или просто