Экономическая ТЕОРИЯ / Занг В.Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. 1999

F(x, r, s) — k-параметрическая бифуркационная задача. Назовем функцию F возмущением f, если

F(x, r, 0, ..., 0) = f(x, r).

(3.8.7)

Для решения проблемы классификации мы ищем k-параметрическое семейство F возмущений функции f, обладающее тем свойством, что какой бы ни была функция f, любое ее возмущение эквивалентно F для некоторого s в окрестности нуля. То есть, для произвольного возмущающего члена hp(x, r, h) существуют такие значения параметров s1(h),.. ., sk(h), что для малого s функция f + hp эквивалентна F. Назовем такую F универсальной деформацией функции f. Следует заметить, что число k параметров, необходимых для существования универсальной деформации, зависит от свойств исследуемой функции f. Так, например, можно показать, что

является универсальной деформацией вилки.

Определив универсальную деформацию f, исследуем пространство параметров деформации Rk, чтобы определить число различных бифуркационных диаграмм {(х, r) : F(x, r, s) = 0}. Для универсальной развертки вилки (3.8.8) имеется четыре основных бифуркационных диаграммы, изображенных на рис. 3.22, которые возникают при изменении s (Голубицкий и Шеффер, 1984).

Следует отметить, что если в модель ввести три и более параметров, то никакого нового поведения мы не обнаружим. Это вытекает из того факта, что (3.8.8) является универсальной разверткой вилки.

Методы теории особенностей позволяют определить точное число параметров, необходимых для описания наиболее общих возмущений бифуркационной задачи. Подход, основанный на теории особенностей, применим также к задачам устойчивости. За дальнейшими сведениями отсылаем читателя к книгам Голубицкого и Шеффера (1984, 1988).

3.9Теория катастроф

Рассмотрим динамическую систему

где xi представляют собой независимые переменные, а r — параметры (называемые в теории катастроф обычно управляющими).

Сильное предположение, которое играет важную роль в теории катастроф — хотя предпринимается огромное число попыток его ослабить — состоит в том, что система (3.9.1) может быть получена с помощью следующих соотношений:

где V — «потенциальная» функция. Это предположение означает, что (3.9.1) является градиентной системой.

Общая классификация решений системы (3.9.2) может быть проведена на основе свойства нарушения их структурной устойчивости следующим образом. Можно определить точки, в которых нарушается устойчивость стационарных состояний. Эти точки в пространстве параметров образуют гиперповерхности, вдоль которых имеет место либо ветвление решений уравнения, либо функция V достигает абсолютного минимума не менее, чем в двух различных точках. Другими словами, при пересечении этих гиперповерхностей происходит переход из области с одним типом динамики в область динамики качественно иной.

Теория катастроф находит множество приложений в различных областях науки. Примеры приложения этой теории к социальным системам можно найти, например, в книге Вильсона (1981). Мы дадим несколько таких примеров в гл. 4, т. е. проведем исследование структурных изменений динамических систем, которые определяются конкретными формами функции V(х, r), где х Rn и r Rk (см. Гилмор, 1981).

Прежде всего, коснемся локальных свойств функции

Свойства этой функции определяются рядом теорем функционального анализа — теоремой о неявной функции, леммой Морса и теоремой Тома.

Теорема о неявной функции утверждает, что если градиент xV не равен нулю в некоторой точке, то можно подобрать такое гладкое (имеющее производные произвольно высокого порядка) преобразование переменных

что V может быть представлена в виде

где с — константа.

Определение 3.9.1. (Критические точки Морса.) Стационарные точки, или критические траектории, гладкой функции V(x) — это точки, в которых xV = 0. Критические точки, в которых det Vij ≠ 0, где Vij = ∂2V|∂xi∂xj, называются изолированными невырожденными или критическими точками Морса.

Если стационарная точка является критической точкой Морса, то лемма Морса гарантирует существование такого гладкого преобразования переменных, что потенциал может быть локально представлен в виде квадратичной формы

где Θi — собственные значения матрицы устойчивости Vij, вычисленные в точке равновесия. Переход к новому масштабу длин в новых координатах zi = уi Θi 1/2 переводит квадратичную форму (3.9.5) в каноническую форму Морса

Функция M in (z) называется i-седлом Морса. В состоянии равновесия локальным

минимумом обладают только 0-седла Морса, так что только такие седла являются локально устойчивыми.

Определение 3.9.2. (Неморсовы критические точки.) Критические точки функции V(x), в которых det Vij = 0, называются неизолированными, вырожденными, или неморсовыми критическими точками.

Если потенциал зависит от одного или более управляющих параметров г, от этих параметров зависят и матрица устойчивости Vij, и ее собственные значения Θi. Следовательно, вполне возможно, что для определенных значений управляющих параметров одно или более собственных значений обращаются в нуль. В этом случае det Vij = 0, т.е. условия, при которых справедлива лемма Морса, более не выполняются. Если m собственных значений Θ1(r),..., (Θm(r) при r = r0 обращаются в нуль, то можно воспользоваться леммой Тома о расщеплении потенциала на морсову и неморсову части:

где т «плохих» координат уi(х, r) (i = 1,..., m), связанных с обращением в нуль m собственных значений Θi(r), зависят от x и от r. «Хорошие» координаты ym+j (х) (j = 1, …, п–т), соответствующие ненулевым собственным значениям Θm+j (r), являются гладкими функциями только исходных переменных x. В точке (х0, r0) матрица устойчивости ∂2fN|∂yi∂yj (1 ≤ i, j ≤ m) принимает нулевое значение (все матричные элементы обратились в нуль), тогда как (п — m)×(п — т)-мерная матрица устойчивости функции Морса невырождена. При соответствующих условиях (k ≤ 5, несимметричности и отсутствии других дополнительных условий у семейства потенциальных функций) теорема Тома гарантирует существование гладкой замены переменных, приводящей потенциал к каноническому виду

где функция CG(m) носит название ростка катастрофы. В таблице 3.1 мы приводим все канонические ростки катастроф для случаев k ≤ 5, которые соответствуют одному (m = 1) или двум (m = 2) нулевым собственным значениям.

Следует заметить, что разложение (3.9.7) в окрестности (х0, r0) в Rn × Rk хотя и справедливо, но не дает конкретной формы fN; разложение (3.9.8) справедливо только в окрестности x0 в Rn, но конкретизирует вид fN, называемый ростком катастрофы. На самом деле Том нашел более полезное разложение, именно: если x0— неморсова критическая точка функции V (х, r) при r = r0, то в открытой окрестности (х0, r0) в Rn × Rk имеет место

Таблица 3.1. Элементарные катастрофы Тома.

Наименование	k	Росток	Возмущение
A2	1	x3	а1х
A±3	2	±х4	а1х + а1х2
А4	3	x5	а1х + а2х2 + а3х3
А±5	4	±х6	а1х + а2х2 + а3х3+ а4х4
A6	5	x7	а1х + а2х2 + а3х3+ а4х4 а5х5
D-4	3	x2y - у3	а1х+ а2y + а3y2
D+4	3	х2у + у3	а1х+ а2y + а3y2
D5	4	х2у + у4	а1х+ а2y + а3x2 + а4y2
D-6	5	х2у - у5	а1х+ а2y + а3x2 + а4y2+ а5y3
D+6	5	х2у + у5	а1х+ а2y + а3x2 + а4y2+ а5y3
E±6	5	x3y±y4	а1х+ а2y + а3xy + а4y2+ а5xy2

Функция Cat(m, k) называется функцией катастрофы или Просто катастрофой. Катастрофа состоит из двух частей: ростка катастрофы CG(m) и возмущения

Pert(m, k), т.е., Cat(m, k) = CG(m) + Pert(m, k). В табл. 3.1 перечислены канонические формы катастроф от одной и двух переменных. Функция катастрофы сводится к ростку катастрофы при равенстве физического управляющего параметра ri величине ri0 или при нулевых математических управляющих параметрах aj (j = 1,... ,v).

Итак, с помощью ряда теорем мы описали локальные характеристики потенциала. В гл. 4 и 8 мы воспользуемся некоторыми (элементарными) результатами теории катастроф.

Приложение: Некоторые замечания о теории бифуркаций

Поскольку теория бифуркаций играет очень важную роль в синергетической экономике, хотелось бы дать некоторые пояснения ее отдельных результатов.

Прежде всего, обсудим некоторые общие теоремы, задающие условия возникновения бифуркаций. Для этого запишем (3.7.1) в виде

где L — линеаризованный оператор, а N включает в себя все добавки, нелинейные по х. Эквивалентный способ сформулировать эту проблему состоит в том, чтобы определить r таким образом, чтобы можно было выделить отдельно часть J0, не зависимую от r, и непрерывную часть, пропорциональную r, так что

J0x -rx+ N(x, r) = 0,

(3.А.2)

где

Теорема 3.А.1. Значение rс может быть точкой бифуркации (3.А.2) только в том случае, если оно является собственным значением оператора J0.

Обратное утверждение не всегда справедливо. Мы говорим, что zс является собственным значением квадратной матрицы L(r) алгебраической кратности k, если

где h(zc) не равно нулю.

Теорема 3.А.2. Если zc (не равное нулю) является собственным значением J0 в (3.А.2) нечетной кратности, то zc — точка бифуркации этого уравнения.

Вкачестве обобщения теоремы 3.А.2 рассмотрим случай векторной переменной

хХ, векторного параметра r М Rm, r = (r1, r2,..., rm), F : Х М →Z

где В и Aj (j = 1,..., n) — ограниченные линейные операторы, N(0, r) = 0, DxN(0, r) = 0. Точку r назовем собственным значением (В, A1,..., Am), если нуль — собственное значение оператора L(r).

Теорема 3.А.3. Пусть Х и Z — банаховы пространства, М — открытый интервал и F Cm(M X, Z) (т ≥ 2). Если r0— простое собственное значение (В, A1,..., Am), соответствующее ненулевому собственному вектору у0, то (r, x) = (r0, 0) — точка бифуркации F(r, x) = 0. Более того, существуют Сn-1 функции

такие, что для действительных v вблизи нуля

Все нули F вблизи точки (r, 0) являются либо тривиальными решениями х = 0, либо задаются выражением (3.А.4). Если F — аналитическая функция в окрестности этой точки или в точке (r0, 0), то таковы же r* (v), x*(v) вблизи v = 0.

Эта теорема принадлежит Чу и Хейлу (1982).

СОДЕРЖАНИЕ

4.	Множества равновесий и структурные изменения в экономических системах..........................		78
4.1	Теория катастроф и сравнительный статический анализ ............................................		78
4.2	Моделирование региональной динамики......................................................................		84
4.3	Некоторые примеры структурных изменений..............................................................		87
4.3.1		Деловые циклы в модели Калдора..........................................................	87
4.3.2		Управление ресурсами.............................................................................	89
4.3.3		Динамический выбор вида транспорта и бифуркации .........................	91
4.3.4		Множества равновесий в модели розничной торговли Вильсона .......	92
4.4	Бифуркационный анализ модели экономического роста.............................................		94
4.5	Теория особенностей в экономическом анализе ........................................................		101
4.6	Замечания.......................................................................................................................		103
5.	Экономические циклы...................................................................................................................		104
5.1	Теории экономических циклов ....................................................................................		104
5.2	Некоторые математические результаты теории предельных циклов .......................		110
5.2.1		Теорема Пуанкаре-Бендиксона и ее приложения к экономике..........	110
5.2.2		Теорема Хопфа о бифуркациях.............................................................	114
5.3	Упрощенная модель делового цикла Кейнса..............................................................		117
5.4	Характер неравновесности в модели без равновесий ................................................		122
5.5	Монетарные циклы в обобщенной модели Тобина....................................................		126
5.6	Осцилляции в гибридной модели роста Ван дер Плюга............................................		133
5.7	Оптимальная периодическая политика занятости......................................................		138
5.8	Оптимальный экономический рост, связанный с эндогенными флуктуациями......		142
5.9	Замечания о возможных последующих бифуркациях предельных циклов .............		145

5.10Конкурентные деловые циклы в экономике с перекрывающимися поколениями

— дискретная модель ...............................................................................................................

149

4 Множества равновесий и структурные изменения в экономических системах

Развитие аналитической экономики в направлении сравнительной динамики должно сохраниться и в будущем. Есть надежда, что этот путь приведет к решению многих проблем ..., даже ...глобальных проблем экономического развития.

П. А. Самуэльсон (1947)

Одним из наиболее важных предметов экономического анализа является исследование влияния изменений внешних параметров на поведение экономических переменных. Анализ подобных эффектов называется сравнительным анализом. В зависимости от того, осуществляется анализ статической или динамической модели, различают сравнительный статический и сравнительный динамический анализ. Когда система устойчива, сравнительный динамический анализ носит название принципа соответствия Самуэльсона. Сравнительный анализ в том виде, как он изложен в «Основах» Самуэльсона, мы называем традиционным сравнительным анализом. В этой книге мы намерены изучить те проблемы сравнительного анализа, которые традиционный сравнительный анализ обходит.

4.1 Теория катастроф и сравнительный статический анализ

Как уже было сказано в гл. 2, изложение Самуэльсоном «Основ экономического анализа» базируется в целом на двух весьма общих гипотезах. Первая состоит в том, что условия равновесия эквивалентны условиям максимизации (минимизации) некоторой величины. Эта гипотеза в большинстве случаев означает справедливость (традиционного) сравнительного статического анализа, из которого можно вывести много важных теорем экономики. Вторая гипотеза состоит в том, что система находится в «устойчивом» равновесии

либо в движении. Как показано в гл. 2, из второй гипотезы следует справедливость принципа соответствия между сравнительной статикой и динамикой. Хотя, по большей части, в этой книге исследуется поведение динамической системы в тех случаях, когда не работает вторая гипотеза, не менее важно понимать, что произойдет, если ослабить первую гипотезу. Поэтому данный раздел посвящен первой гипотезе.

Гипотеза применяется к сравнительной статике. Использование этого общего метода (например, в микроэкономике и экономике благосостояния) позволило получить значительные результаты. В случае когда равновесные значения переменных можно трактовать как решения задачи оптимизации, становится возможным однозначно определить направление изменения решения в зависимости от сдвига параметров. Для иллюстрации приведем два простых примера (Самуэльсон, 1947).

Рассмотрим фирму, для которой заданы функции спроса и производственных издержек. Предположим, что фирма облагается налогом величины r на единицу продукции. Тогда доход фирмы определяется так:

D = хр(х) - С(х) - тх.

(4.1.1)

Здесь x, р и С представляют соответственно объем производства, цену продукции и минимальные суммарные производственные издержки. Фирма определяет уровень производства для каждой заданной величины налога. При каждой заданной налоговой ставке существует равновесный объем выпуска. Рассмотрим, как в соответствии с изменением величины налога меняется объем производства, определенный фирмой.

Предположим, что фирма выбирает такой объем производства, который максимизирует ее доход. Решение, максимизирующее D в (4.1.1), будет равновесной величиной. Необходимыми и достаточными условиями локального максимума являются Dx = 0, Dxx < 0. Из Dx = 0 имеем

откуда мы можем определить точку равновесия х = g(r). Дифференцирование (4.1.2) по r дает

Однако поскольку Dxx = [хр(х) - С(х)]xx должно быть отрицательным, из (4.1.3) имеем

Таким образом заключаем, что если фирма находится в равновесии до и после налогообложения, увеличение налога всегда вызовет

падение производства. Выше мы не определяли вид функций р(х) и С(х). Наше единственное требование состояло в том, чтобы задача имела регулярное максимальное решение. Этого достаточно для того, чтобы определить направление изменения х после налогообложения. Следовательно, по известной информации о том, что фирма максимизирует прибыль, мы можем предсказать поведение фирмы при изменении налоговой политики. Этот пример служит типичной иллюстрацией того, что мы понимаем под сравнительным статическим анализом.

Теперь рассмотрим, что произойдет, если гипотезы, принятые в сравнительном статическом анализе, будут ослаблены.

Рассмотрим задачу оптимизации

minf(x, r),

где х представляет переменные, а r - параметры. Минимум f достигается, когда

grad f = 0.

(4.1.5)

Решение (4.1.5) дает точку равновесия, которая минимизирует функцию потенциала f(x, r). При изменении r оптимальное решение определяет поверхность в пространстве (x, r), на которой расположены возможные состояния равновесия системы. В соответствии с традиционным сравнительным статическим анализом при гладких, медленных и малых изменениях r мы можем ожидать соответствующих гладких малых изменений х. В результате траектория равновесия в пространстве (x, r) будет гладкой и не может быть никоим образом складчатой.

Пусть в положении равновесия вторая производная функции f(x, r) равна нулю или гессиан сингулярен. В этих случаях положения, определяемые условием (4.1.5), могут не быть оптимальными. Такие точки равновесия известны как особые, и именно в таких точках и вблизи них можно наблюдать необычное поведение системы. Как показано в гл. 3, элементарной задачей теории катастроф является классификация возможных типов особенностей. Теория катастроф имеет дело с внезапными и дискретными изменениями состояния системы, которые являются результатом медленных, гладких и малых изменений одного и более параметров. В случае числа управляющих параметров вектора r меньшего или равного 4, число возможных особенностей, в топологическом смысле, относительно мало

(см. гл. 3).

Рассмотрим простой пример — сборку — одну из элементарных катастроф Тома. Она находит наиболее широкое; применение в науке благодаря своей простоте и типичности.

Рассмотрим потенциальную функцию