Непрерывно-стохастические модели.

Для непрерывно-стохастических моделей характерно: непрерывное изменение времени и присутствие случайностей. Для формализованного описания таких моделей, служит аппарат систем массового обслуживания. Системы массового обслуживания представляют собой класс математических схем, разработанных в теории массового обслуживания и различных приложениях для формализации процессов функционирования систем, которые по своей сути являются процессами обслуживания. В качестве же процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем.

Наш исследуемый объект является непрерывно-стохастической моделью - время рассматривается как непрерывный процесс.

При имитировании непрерывно-стохастической системы, непрерывно изменяющееся время заменяют на дискретное время и малым изменением шага t. Обычно при моделировании непрерывной системы применяют следующие шаги:

1) составление математической модели системы или процесса (обычно в терминах интегральных и дифференциальных уравнений функции непрерывного аргумента);

2) переход к дискретной модели путем замены функции непрерывного аргумента функциями дискретного аргумента;

3) составление вычислительного алгоритма для решения полученной системы с заданной точностью.

Агрегативные системы.

Данный класс схем является классом обобщенных схем. Каждый агрегат системы может находиться в одном из множества состояний.

Этот вид моделирования используется в случае, когда частные случаи моделирования не являются эффективными.

Рассмотрим агрегативную модель проектируемой системы.

А0 – агрегат, управляющий распределением заявок (на обслуживание либо в окружающую среду, если система занята);

А1, А2, …, А120 - агрегаты, обслуживающие поступившие заявки;

Аокр – агрегат, представляющий собой внешнюю среду, являющуюся стохастической.

Данная схема, однако, не упрощает описанную выше непрерывно-стохастическую систему,

но, однако, записывает работу СМО в ином виде, поэтому применение агрегатов для данной модели может являться альтернативой непрерывно-стохастической системе.

Выводы по выбору системы моделирования.

В качестве схемы описания системы мы выбираем непрерывно-стохастическую систему в форме аппарата системы массового обслуживания, либо агрегативную схему.

Построение модели

Исходной информацией при построении математических моделей процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы проектируемой системы. Введение понятия математическая схема позволяет рассматривать математику не как метод расчета, а как метод мышления, как средство формулирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания системы к формальному представлению процесса её функционирования в виде некоторой математической модели (аналитической или имитационной). В нашем случае мы имеем непрерывно-стохастическую систему, в качестве схемы формализованного описания используют аппарат теории массового обслуживания. Систему массового обслуживания можно описать, задавая следующие компоненты 1) входной поток, т.е. поток поступающих требований или заявок на обслуживание; 2) дисциплину очереди; 3) механизм обслуживания.

Для описания входного потока обычно требуется задать вероятностный закон, управляющий последовательностью моментов поступления требований на обслуживание, и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении. Источник, генерирующий требования, обычно считается неисчерпаемым.

Дисциплина очереди. Данная характеристика позволяет описать порядок обслуживания требований, поступающих на вход системы. Обычно используется дисциплина очереди типа: первым пришел - первым обслуживаешься. Иногда используется дисциплина - последним пришел - первым обслуживаешься.

Механизм обслуживания. Обслуживающий механизм аналогично входному потоку характеризуется продолжительностью процедур обслуживания и количеством требований удовлетворяемых в результате выполнения каждой такой процедуры.

Для рассматриваемой системы в каждый определенный период времени входящий поток можно назвать простейшим – согласно условию время прихода между приходом двух требований известно, также известно время обслуживания заявки; дисциплина очереди - без приоритетов по принципу FIFO.

Таким образом, можно отметить, что рассматриваемая система удовлетворяет требованиям аналитического задания СМО:

1. входящий поток требований - простейший, при таком потоке время между приходом двух требований имеет показательный закон распределения с параметром ;

2. все каналы обслуживающей системы - показательные с параметром ;

3. система без приоритетов, т.е. все поступающие заявки обслуживаются в порядке очереди;

4. система однофазная, т.е. производится один вид обслуживания;

5. система разомкнутая.

Методом реализации формализованного подхода являются формулы Эрланга:

- предельный закон распределения числа занятых каналов в зависимости от характеристик потока заявок и производительности системы обслуживания, где а – приведенная плотность потока – среднее число заявок, приходящееся на среднее время обслуживания одной заявки;

к – число занятых каналов.

Заданная таким образом система массового обслуживания позволит получить искомые результаты путем простейших математических операций над полученными вероятностями и плотностью потока, так, например, среднее время неполной загрузки системы может быть получено умножением общего времени работы системы на вероятность того, что система имела хотя бы один свободный канал (1-р_n).

Такой способ определения результатов работы модели не даст возможности в дальнейшем адаптировать модель возможными поломками линий, а также получать подробную информацию о текущем состоянии системы в каждый момент времени, результаты не будут особо ценными, так как будут получены на основе эмпирических данных, а не статистических.

На основе выше сказанного следует принять решение, что наилучшим способом для реализации поставленной цели моделирования будет построение имитационной модели.

Имитационное моделирование.

Имитационное моделирование – это процесс конструирования модели реальной системы и постановки экспериментов на этой модели с целью либо понят поведение этой системы, либо оценить (в рамках ограничений, накладываемых некоторым критерием или совокупностью критериев) различные стратегии, обеспечивающие функционирование данной системы.

В данном случае строятся имитационные, так называемые, дескриптивные модели, описывающие объект моделирования по принципу «как это есть на самом деле». Это описательные модели.

Использование современных универсальных ЭВМ является мощным средством реализации имитационных моделей и исследования с их помощью характеристик процессов функционирования систем. Большое значение при реализации модели на ЭВМ имеет вопрос правильного выбора языка моделирования.

Языки программирования представляет собой набор символов, распознаваемых ЭВМ и обозначающих операции, которые можно реализовать на ЭВМ. Язык моделирования представляет собой процедурно - ориентированный язык, обладающий специфическими чертами. Рассмотрим преимущества и недостатки использования для моделирования процесса функционирования систем языком имитационного моделирования и языков общего назначения. Целесообразность использования языков имитационного моделирования (ЯИМ) вытекает из двух основных причин: 1) удобство программирования модели системы, играющее существенную роль при машинной реализации моделирующих алгоритмов; 2) концептуальная направленность языка на класс систем, необходимая на этапе построения модели системы и выборе общего направления исследования в планируемом машинном эксперименте. Как показывает практика, что именно использование языков имитационного моделирования во многом определило успех имитации как метода экспериментального исследования сложных реальных объектов. Серьезные недостатки ЯИМ, проявляются в том, что они разрабатывались отдельными организациями, для своих достаточно узко специализированных потребностей.

При создании моделей на базе любого языка необходимо решить вопрос о синхронизации процессов в модели, так как в каждый момент времени, протекающего в системе (системного времени), может потребоваться обработка нескольких событий, т.е. требуется псевдопараллельная организация имитирующих процессов в модели.

Для выбора принципа построения модели необходимо знать: цель и назначение модели требуемую точность результатов моделирования. Для реализации модели на языке общего назначения Паскаль (рабочий язык в Dephi 5), необходимо предусмотреть следующее.

Совмещение. Параллельно протекающие в реальных системах процессы представляются с помощью последовательно работающей ЭВМ. Языки моделирования позволяют обойти эту трудность путем введения понятия системного времени, используемого для представления упорядоченных по времени событий.

Размер. Большинство моделируемых систем имеет сложную структуру и алгоритмы поведения, а их модели велики по объему. Поэтому используют динамическое распределение памяти, когда компоненты модели системы появляются в оперативной памяти ЭВМ или покидают ее в зависимости от текущего состояния. Важным аспектом реализуемости модели на ЭВМ в этом случае является блочность ее конструкции, т.е. возможность разбиения модели на блоки, подблоки и т.д.

Изменения. Динамические системы связаны с движением и характеризуются

развитием процесса, вследствие чего пространственная конфигурация этих систем претерпевает изменения по времени. Поэтому во всех ЯИМ предусматривают обработку списков, отражающих изменения состояний процесса функционирования моделируемой системы .

Взаимосвязанность. Условия, необходимые для свершения различных событий в модели процесса функционирования системы, могут оказаться весьма сложными из-за наличия большого количества взаимных связей между компонентами модели. Для разрешения связанных с этим вопросом трудностей, в большинство ЯИМ включают соответствующие логические возможности и понятия теории множеств.

Стохастичность. Для моделирования случайных событий и процессов используют специальные программы генерации последовательностей псевдослучайных чисел, квазиравномерно распределенных на заданном интервале, на основе которых можно получить стохастические воздействия на модель, имитируемые случайными величинами с соответствующим законом распределения.

Анализ. Для получения наглядного и удобного в практическом отношении

ответа на вопросы, решаемые методом машинного моделирования, необходимо получать статистические характеристики процесса функционирования модели системы. Поэтому предусматривают в языках моделирования способы статистической обработки и анализа результатов моделирования.

Построение имитационной модели.

Целью построения модели является имитация работы районной АТС в течение недели. Выберем следующие временные характеристики системы:

-шаг моделирования равен 1 минуте;

-день и время начала моделирования задается пользователем;

-время окончания 8:00 часов утра на следующей неделе в тот же день недели, когда началось моделирование;

-общее время моделирования 168 часов (168 периодов моделирования).

Допущения в работе модели.

1. Рабочие и выходные дни проходят с одинаковыми временными характеристиками поступления и обслуживания заявок по часам.

2. В рабочие дни обед у всех служащих проходит с 13:00 до 14:00.

3. Для каждого часа суток определены свои законы распределения поступления и обслуживания заявок.

4. В виду сложности и ограниченности возможностей для определения числа поступающих вызовов в системе определяется вероятность загруженности всех каналов (за основу в законах распределения взято значение из условия задачи – 120 звонков в 1 минуту и личные наблюдения автора).

5. Решение об увеличении числа каналов АТС может быть принято по отношению времени полной загруженности системы к общему времени работы.

6. Услугами Internet’а пользуются в течение суток, число занятых в этом случае зависит от времени суток.

Логика работы модели.

Перед началом каждого часа идет резервирование каналов под Internet (время обслуживания 60 периодов), а, в случае поломок, количество поломок за час.

1. Увеличение числа свободных каналов за счет окончания обслуживания занятых.

2. Определение освободившихся каналов

3. Определение, будут ли заняты каналы под Internet и количество

4. Определение, будут ли заняты каналы и их количество

5. Увеличение занятых каналов

В случае возможных поломок перед началом работы модели каждый час определяется число поломанных каналов, влияющие на общее число свободных каналов, причем приоритет по поломкам у свободных каналов

Новая формулировка задания.

Рассматривается работа районной АТС, которая обеспечивает не более 120 переговоров одновременно. Средняя длительность переговоров 1 минута, вызовы на станцию поступают в среднем 0.5 секунды, однако, длительность обслуживания и интенсивность прихода заявок может меняться в зависимости от времени суток и дня недели. Кроме того, каждый час некоторое количество каналов занято под Internet в зависимости от времени суток и дня недели и можно считать, что время обслуживания этих каналов 1 час.

Исследовать на основе модели работу АТС в течение недели, собрав в итоге статистику следующего характера:

• среднее время пребывания заявки в системе;

• среднее время неполной загрузки системы;

• общее число вызовов за указанный период.

Модифицировать модель, введя в нее возможность поломки линии и получить новые характеристики системы.