§3. Метод координат на плоскости

Задавая на плоскости аффинную систему координат, мы устанавливаем взаимно однозначное соответствие между точками и упорядоченными парами действительных чисел. Это позволяет находить условие, определяющее геометрическую фигуру.

Под условием, определяющим геометрическую фигуру, понимаем упорядоченные пары действительных чисел, уравнения, неравенства или их системы, которым удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей фигуре, и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих фигуре.

Например, относительно аффинной системы координат прямая, совпадающая с осью, задается уравнением, полуплоскость с границейзадается неравенством, точки первой координатной четверти задаются системой неравенств.

Тогда геометрическую задачу можно перевести на язык алгебры, решить методами алгебры и полученный результат интерпретировать геометрически.

О п р е д е л е н и е. Линия на плоскости называется алгебраической, если существует аффинная система координат, в которой уравнение этой линии имеет вид , где– многочлен, то есть сумма членов вида(– действительное число,- целые, неотрицательные числа).

Число называетсястепенью члена , где.

Степень многочлена – это наибольшая из степеней его членов.

Степень многочлена называется порядком алгебраической линии.

Пример. Относительно прямоугольной системы координат окружность с центромрадиусазадается уравнением. Следовательно, окружность является алгебраической линией второго порядка.

Используя формулы (1) из §2 преобразования координат точек при замене системы координат, можно найти уравнение алгебраической линии в новой системе координат. При этом несложно убедиться в справедливости следующей теоремы

Т е о р е м а. Понятие алгебраической линии и ее порядок не зависят от выбора аффинной системы координат.

Кроме алгебраических, существует бесконечно много неалгебраических (трансцендентных) линий: .

Лекция 2. Прямая на плоскости как линия первого порядка §4. Уравнение прямой на плоскости

Через данную точку проходит единственная прямая, параллельная данному ненулевому вектору. Вектор, как и любой другой ненулевой вектор, параллельный прямой, называетсянаправляющим вектором прямой.

Итак, всякая прямая однозначно определяется точкой и направляющим вектором.

Пусть на плоскости задан аффинный репер и,. Точкапринадлежит прямойтогда и только тогда, когда векторыиколлинеарны, то есть отличаются друг от друга числовым множителем:. Переходя к координатам, найдем уравнения, которым должны удовлетворять координатыточки, принадлежащей прямой:

–параметрические уравнения прямой.

Векторы иколлинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны. Имеем

–каноническое уравнение прямой.

Через данную точку проходит единственная прямая, перпендикулярная данному ненулевому вектору. Вектор, как и любой другой ненулевой вектор, перпендикулярный прямой, называетсянормальным вектором прямой.

Итак, всякая прямая на плоскости однозначно определяется точкой и нормальным вектором.

Точка принадлежит прямойтогда и только тогда, когда векторыиортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю. Чтобы использовать координаты векторов, необходим ортонормированный базис, а значит, на плоскости должна быть задана прямоугольная система координат. Пусть,. Выразив условие ортогональности векторовичерез координаты, получим уравнение прямой:.

Выводы:

1. Чтобы составить уравнение прямой, надо знать точку и направляющий вектор, либо точку и нормальный вектор.

2. Уравнение прямой приводится к виду , где–общее уравнение прямой, то есть прямая является алгебраической линией первого порядка.

Т е о р е м а. Любая алгебраическая линия первого порядка является прямой.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для алгебраической линии первого порядка существует аффинная система координат, относительно которой линия задается уравнением , где. Пусть. Приведя уравнение линии к виду, напоминающему каноническое уравнение прямой, найдем точкуи направляющий векторпрямой, которая совпадает с данной алгебраической линией.

Вектор не коллинеарен вектору(в противном случае будем иметь). Если система координат прямоугольная, то будем иметь, то есть векторортогонален направляющему векторупрямой, а значит, является нормальным вектором прямой.