Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Уральский государственный педагогический университет»

Математический факультет

Кафедра высшей математики

Геометрия Материалы для практических занятий

I курс, 2 семестр

Екатеринбург 2012

Данное пособие является составной частью учебно-методического комплекса по дисциплине «Геометрия» и призвано оказать помощь студентам в самостоятельной работе по изучению теоретического материала, выполнению индивидуальных заданий. В него включены: программа курса, тематические планы лекций и практических занятий, материалы для практических занятий, домашних заданий и контрольных работ.

Составители:

Толстопятов В.П., к. ф.-м. н., профессор кафедры высшей математики

Дударева Н.В., к. пед. н., доцент кафедры высшей математики

Унегова Т.А. к. ф.-м. н., доцент кафедры высшей математики

ГЕОМЕТРИЯ 1

1. Программа курса 4

1. Лекции 4

2. Практические занятия 5

2. Материалы для практических занятий 7

Занятие 1. Метод координат в пространстве. Уравнение плоскости 7

Занятие 2. Расстояние от точки до плоскости 8

Занятие 3. Прямая в пространстве 9

Занятие 4-5. Взаимное расположение прямых. Взаимное расположение прямых и плоскостей 10

Занятие 6. Расстояние между прямыми 12

Занятие 7-8. Решение задач элементарной геометрии координатным методом 13

Занятие 9-10. Исследование поверхности методом сечений 15

Занятие 11-13. Построение тел, ограниченных поверхностями 15

Занятие 14. Отображения, их виды. Преобразования множества. Композиция преобразований 16

Занятие 15. Параллельный перенос и поворот плоскости 20

Занятие 16. Осевая и скользящая симметрия 24

Занятие 17. Геометрические свойства движений. Аналитическое задание движения 26

Занятие 18. Подобия плоскости. Гомотетия 28

Занятие 19. Геометрические свойства аффинных преобразований 30

Занятие 20. Движения трехмерного евклидова пространства, их классификация 32

Занятие 21. Группы самосовмещений правильных многогранников 34

Занятие 22-24. Решение задач элементарной геометрии методом геометрических преобразований 34

3. Вариант контрольной работы по теме«Метод координат в пространстве» 37

4. Вариант контрольной работы по теме «Геометрические преобразования плоскости» 38

5. Вариант тестового задания для контроля остаточных знаний 39

Литература 41

1. Программа курса

1. Аналитическая стереометрия

О задании фигур в пространстве. Плоскость в пространстве. Прямая линия в пространстве. Квадрики в 3-мерном пространстве (поверхности второго порядка). Квадрики и прямые в пространстве.

2. Геометрические преобразования плоскости и пространства

Группы преобразований. Движения плоскости. Группы самосовмещений фигур на плоскости, их строение при условиях конечности группы или ограниченности фигуры. Подобия плоскости. Аффинные преобразования плоскости. Инверсия плоскости с выколотой точкой. Движения пространства.

1. Лекции

1. Плоскость в трехмерном пространстве как поверхность первого порядка. Задание полупространства. Расстояние от точки до плоскости.

2. Прямая в трехмерном пространстве. Аффинные и метрические задачи.

3. Цилиндрические и конические поверхности, поверхности вращения.

4. Классификация поверхностей второго порядка. Общая теория поверхностей второго порядка (обзор).

5. Отображения и преобразования множеств. Групповой подход к геометрии («Эрлангенская программа» Ф.Клейна).

6. Движения плоскости и их геометрические свойства. Аналитическое задание движений.

7. Классификация движений плоскости (Теорема Шаля).

8. Подобия плоскости и их геометрические свойства. Классификация подобий.

9. Аффинные преобразования плоскости и их геометрические свойства. Аналитическое задание аффинных преобразований.

10. Преобразования геометрического пространства. Движения пространства и их классификация.