- •§2. Свободный вектор
- •§3. Сложение и вычитание свободных векторов
- •§4. Умножение свободного вектора на число
- •Лекция 2. Векторное пространство. Базис и координаты вектора §5. Понятие векторного пространства
- •§6. Линейная зависимость векторов
- •§7. Базис векторного пространства. Координаты вектора
- •Лекция 3. Скалярное умножение свободных векторов §8. Проекция вектора на вектор
- •§9. Скалярное умножение свободных векторов
- •Лекция 4 - 5. Векторное и смешанное умножение свободных векторов §10. Ориентация векторного пространства
- •§11. Векторное умножение свободных векторов
- •§12. Смешанное умножение свободных векторов
- •Раздел II. Аналитическая планиметрия Лекция 1. Аффинные системы координат на плоскости. Метод координат §1. Аффинная система координат на плоскости
- •§2. Формулы преобразования координат
- •§3. Метод координат на плоскости
- •Лекция 2. Прямая на плоскости как линия первого порядка §4. Уравнение прямой на плоскости
- •§5. Особенности расположения прямой относительно системы координат
- •Лекция 3. Аналитическое задание полуплоскостей. Вычисление расстояний и углов на плоскости §6. Геометрический смысл знака трехчлена прямой
- •§7. Расстояние от точки до прямой
- •§8. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •§9. Угол между прямыми
- •Лекция 4. Конические сечения: эллипс, гипербола, парабола §10. Эллипс
- •§11. Гипербола
- •§12. Парабола
- •§13. Директориальное свойство эллипса и гиперболы
- •Лекция 5. Классификация линий второго порядка на плоскости §14. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду
- •Лекция 6. Общая теория линий второго порядка §15. Центр линии второго порядка
- •§16. Взаимное расположение линии второго порядка и прямой
- •§19. Диаметры линий второго порядка
- •§20. Главные направления, главные диаметры
- •Литература
Лекция 4. Конические сечения: эллипс, гипербола, парабола §10. Эллипс
О п р е д е л е н и е. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами:
.
Чтобы найти уравнение эллипса, нужно удобным образом выбрать систему координат.
, где – середина отрезка,. Тогда. Под уравнением фигуры понимаем уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей фигуре, и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих фигуре. Поэтому, вывод уравнения эллипса состоит из двух этапов: сначала находим уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки эллипса, затем показываем, что если координаты точки удовлетворяют этому уравнению, то точка принадлежит эллипсу.
I. . Используя формулы вычисления расстояния между точками, получим уравнение, которое приводится к виду, где обозначено.
II. Пусть координаты точки удовлетворяют уравнению. Покажем, что точкапринадлежит эллипсу, то есть.
Непосредственным вычислением получаем .
Из уравнения, которому удовлетворяют координаты точки , следует. Кроме того,. Поэтому, имееми.
Аналогично находим .
Тогда и значит, точкапринадлежит эллипсу.
Из I и II следует, что – уравнение эллипса –каноническое уравнение эллипса и значит эллипс – линия второго порядка.
Исследование формы эллипса
. То есть являются осями симметрии, ацентром симметрии.
. Так как , то все точки эллипса находятся внутри прямоугольника, определяемого прямыми.
Определяя точки пересечения эллипса с произвольной прямой , проходящей через начало системы координат, получим систему уравнений. Тогда. Таким образом, любая прямая, проходящая через начало координат, пересекает эллипс в двух точках, симметричных относительно. В частности
.
Точки называются вершинами эллипса,– большой полуосью,– малой полуосью.
Для точек эллипса, находящихся в первой координатной четверти, имеем . Таким образом, есливозрастает от 0 до, тоубывает отдо 0.
Эксцентриситетом эллипса называется число . Таким образом, эксцентриситет эллипса меньше 1.
Имеем . Отсюда. Для системы эллипсов с одной и той же большой осью (постоянно) видим, что с увеличением эксцентриситета уменьшается малая ось, то есть эллипс становится более сплюснутым. Прибудем иметьи эллипс становится окружностью.
§11. Гипербола
О п р е д е л е н и е. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами: .
По аналогии с эллипсом можно вывести каноническое уравнение гиперболы: , где обозначено.
Исследование формы гиперболы
–оси симметрии, – центр симметрии гиперболы.
. Из уравнения гиперболы следует, что , то есть все точки гиперболы находятся вне полосы, определяемой прямыми.
Поиск точек пересечения гиперболы с – произвольной прямой, проходящей через начало системы координат, сводится к решению уравнения. Таким образом, если, то прямаяпересекает гиперболу в двух точках, симметричных относительно начала системы координат.
Если , то прямаяне пересекает гиперболу.
При этом и, следовательно,.
Получаем, что прямая не пересекает гиперболу, если её угловой коэффициент по модулю больше, чем модуль углового коэффициента прямойили. Прямыеиназываютсяасимптотами гиперболы.
Ось пересекает гиперболу в точкахи–вершины гиперболы. Ось называетсявещественной осью.
Ось не имеет с гиперболой общих вещественных точек и называетсямнимой осью гиперболы.
Прямая ,, пересекает гипеболу в точке, а асимптотув точке. Расстояние от точкидо гиперболы меньше, чем расстояние. Видим, что прирасстояние от точкидо гиперболы стремится к нулю. То есть по мере удаления от мнимой оси точки гиперболы неограниченно приближаются к соответствующей асимптоте.
Эксцентриситетом гиперболы называется число . Таким образом, эксцентриситет гиперболы больше 1.
Имеем Таким образом, для системы гипербол с общими вещественными вершинами (постоянно) с возрастанием эксцентриситета ветви гипербол все более удаляются от вещественной оси.